Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32886 / 24230
↖ ↑ ↗
← N 42.399122°
E  0.648193°		 ← 451.05 m → N 42.399122°
E  0.653686°		 →
↑
451.07 m
↓
↑
451.07 m
↓
N 42.395066°
E  0.648193°		 ← 451.07 m →
203 458 m²		 N 42.395066°
E  0.653686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501808166503906 y=0.369728088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501808166503906 × 216)
    floor (0.501808166503906 × 65536)
    floor (32886.5)     		tx = 32886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369728088378906 × 216)
    floor (0.369728088378906 × 65536)
    floor (24230.5)     		ty = 24230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32886 / 24230 ti = "16/32886/24230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32886/24230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32886 ÷ 216
    32886 ÷ 65536     		x = 0.501800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24230 ÷ 216
    24230 ÷ 65536     		y = 0.369720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501800537109375 × 2 - 1) × π
    0.00360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01131311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369720458984375 × 2 - 1) × π
    0.26055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.818570497912079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01131311} λ = 0.01131311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818570497912079))-π/2
    2×atan(2.26725647202522)-π/2
    2×1.15540030421123-π/2
    2.31080060842247-1.57079632675     		φ = 0.74000428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01131311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.648193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74000428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.399122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32886 KachelY 24230 0.01131311 0.74000428 0.648193 42.399122
    Oben rechts KachelX + 1 32887 KachelY 24230 0.01140898 0.74000428 0.653686 42.399122
    Unten links KachelX 32886 KachelY + 1 24231 0.01131311 0.73993348 0.648193 42.395066
    Unten rechts KachelX + 1 32887 KachelY + 1 24231 0.01140898 0.73993348 0.653686 42.395066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74000428-0.73993348) × R
    7.07999999999265e-05 × 6371000     		dl = 451.066799999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74000428-0.73993348) × R
    7.07999999999265e-05 × 6371000     		dr = 451.066799999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01131311-0.01140898) × cos(0.74000428) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.738465672770562 × 6371000     		do = 451.045801493088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01131311-0.01140898) × cos(0.73993348) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.738513410727608 × 6371000     		du = 451.074959253416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74000428)-sin(0.73993348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738465672770562-0.738513410727608)×R²
    abs(0.01140898-0.01131311)×4.77379570452685e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.77379570452685e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.77379570452685e-05×40589641000000     		ar = 203458.362466678m²