Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32880 / 23088
↖ ↑ ↗
← N 46.860191°
E  0.615235°		 ← 417.65 m → N 46.860191°
E  0.620728°		 →
↑
417.68 m
↓
↑
417.68 m
↓
N 46.856435°
E  0.615235°		 ← 417.67 m →
174 449 m²		 N 46.856435°
E  0.620728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501716613769531 y=0.352302551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501716613769531 × 216)
    floor (0.501716613769531 × 65536)
    floor (32880.5)     		tx = 32880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352302551269531 × 216)
    floor (0.352302551269531 × 65536)
    floor (23088.5)     		ty = 23088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32880 / 23088 ti = "16/32880/23088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32880/23088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32880 ÷ 216
    32880 ÷ 65536     		x = 0.501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23088 ÷ 216
    23088 ÷ 65536     		y = 0.352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352294921875 × 2 - 1) × π
    0.29541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.928058376644287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01073787} λ = 0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928058376644287))-π/2
    2×atan(2.5295928897375)-π/2
    2×1.19433047405684-π/2
    2.38866094811367-1.57079632675     		φ = 0.81786462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81786462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.860191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32880 KachelY 23088 0.01073787 0.81786462 0.615235 46.860191
    Oben rechts KachelX + 1 32881 KachelY 23088 0.01083374 0.81786462 0.620728 46.860191
    Unten links KachelX 32880 KachelY + 1 23089 0.01073787 0.81779906 0.615235 46.856435
    Unten rechts KachelX + 1 32881 KachelY + 1 23089 0.01083374 0.81779906 0.620728 46.856435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81786462-0.81779906) × R
    6.556000000002e-05 × 6371000     		dl = 417.682760000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81786462-0.81779906) × R
    6.556000000002e-05 × 6371000     		dr = 417.682760000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01073787-0.01083374) × cos(0.81786462) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.683780924871142 × 6371000     		do = 417.645026270581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01073787-0.01083374) × cos(0.81779906) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.683828761705099 × 6371000     		du = 417.674244423717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81786462)-sin(0.81779906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683780924871142-0.683828761705099)×R²
    abs(0.01083374-0.01073787)×4.7836833957704e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.7836833957704e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.7836833957704e-05×40589641000000     		ar = 174449.229295308m²