Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32878 / 24206
↖ ↑ ↗
← N 42.496403°
E  0.604248°		 ← 450.35 m → N 42.496403°
E  0.609741°		 →
↑
450.37 m
↓
↑
450.37 m
↓
N 42.492353°
E  0.604248°		 ← 450.38 m →
202 827 m²		 N 42.492353°
E  0.609741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501686096191406 y=0.369361877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501686096191406 × 216)
    floor (0.501686096191406 × 65536)
    floor (32878.5)     		tx = 32878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369361877441406 × 216)
    floor (0.369361877441406 × 65536)
    floor (24206.5)     		ty = 24206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32878 / 24206 ti = "16/32878/24206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32878/24206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32878 ÷ 216
    32878 ÷ 65536     		x = 0.501678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24206 ÷ 216
    24206 ÷ 65536     		y = 0.369354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501678466796875 × 2 - 1) × π
    0.00335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01054612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369354248046875 × 2 - 1) × π
    0.26129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.820871469093842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01054612} λ = 0.01054612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.820871469093842))-π/2
    2×atan(2.27247937039396)-π/2
    2×1.15624923917558-π/2
    2.31249847835115-1.57079632675     		φ = 0.74170215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01054612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.604248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74170215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.496403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32878 KachelY 24206 0.01054612 0.74170215 0.604248 42.496403
    Oben rechts KachelX + 1 32879 KachelY 24206 0.01064199 0.74170215 0.609741 42.496403
    Unten links KachelX 32878 KachelY + 1 24207 0.01054612 0.74163146 0.604248 42.492353
    Unten rechts KachelX + 1 32879 KachelY + 1 24207 0.01064199 0.74163146 0.609741 42.492353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74170215-0.74163146) × R
    7.06899999999289e-05 × 6371000     		dl = 450.365989999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74170215-0.74163146) × R
    7.06899999999289e-05 × 6371000     		dr = 450.365989999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01054612-0.01064199) × cos(0.74170215) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.737319750327418 × 6371000     		do = 450.345886079439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01054612-0.01064199) × cos(0.74163146) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.737367502684754 × 6371000     		du = 450.375052635288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74170215)-sin(0.74163146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737319750327418-0.737367502684754)×R²
    abs(0.01064199-0.01054612)×4.7752357335118e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.7752357335118e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.7752357335118e-05×40589641000000     		ar = 202827.038723096m²