Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32875 / 24167
↖ ↑ ↗
← N 42.654162°
E  0.587769°		 ← 449.21 m → N 42.654162°
E  0.593262°		 →
↑
449.28 m
↓
↑
449.28 m
↓
N 42.650122°
E  0.587769°		 ← 449.24 m →
201 828 m²		 N 42.650122°
E  0.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501640319824219 y=0.368766784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501640319824219 × 216)
    floor (0.501640319824219 × 65536)
    floor (32875.5)     		tx = 32875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368766784667969 × 216)
    floor (0.368766784667969 × 65536)
    floor (24167.5)     		ty = 24167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32875 / 24167 ti = "16/32875/24167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32875/24167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32875 ÷ 216
    32875 ÷ 65536     		x = 0.501632690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24167 ÷ 216
    24167 ÷ 65536     		y = 0.368759155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501632690429688 × 2 - 1) × π
    0.003265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01025850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368759155273438 × 2 - 1) × π
    0.262481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.824610547264206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01025850} λ = 0.01025850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824610547264206))-π/2
    2×atan(2.28099225365037)-π/2
    2×1.15762594607041-π/2
    2.31525189214081-1.57079632675     		φ = 0.74445557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01025850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.587769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74445557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.654162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32875 KachelY 24167 0.01025850 0.74445557 0.587769 42.654162
    Oben rechts KachelX + 1 32876 KachelY 24167 0.01035437 0.74445557 0.593262 42.654162
    Unten links KachelX 32875 KachelY + 1 24168 0.01025850 0.74438505 0.587769 42.650122
    Unten rechts KachelX + 1 32876 KachelY + 1 24168 0.01035437 0.74438505 0.593262 42.650122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74445557-0.74438505) × R
    7.05199999999628e-05 × 6371000     		dl = 449.282919999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74445557-0.74438505) × R
    7.05199999999628e-05 × 6371000     		dr = 449.282919999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01025850-0.01035437) × cos(0.74445557) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73545690161437 × 6371000     		do = 449.208080868149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01025850-0.01035437) × cos(0.74438505) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.7355046821282 × 6371000     		du = 449.237264621641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74445557)-sin(0.74438505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73545690161437-0.7355046821282)×R²
    abs(0.01035437-0.01025850)×4.77805138304754e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77805138304754e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77805138304754e-05×40589641000000     		ar = 201828.074224682m²