Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32872 / 21695
↖ ↑ ↗
← N 51.839172°
E  0.571289°		 ← 377.39 m → N 51.839172°
E  0.576782°		 →
↑
377.42 m
↓
↑
377.42 m
↓
N 51.835778°
E  0.571289°		 ← 377.42 m →
142 438 m²		 N 51.835778°
E  0.576782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501594543457031 y=0.331047058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501594543457031 × 216)
    floor (0.501594543457031 × 65536)
    floor (32872.5)     		tx = 32872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331047058105469 × 216)
    floor (0.331047058105469 × 65536)
    floor (21695.5)     		ty = 21695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32872 / 21695 ti = "16/32872/21695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32872/21695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32872 ÷ 216
    32872 ÷ 65536     		x = 0.5015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21695 ÷ 216
    21695 ÷ 65536     		y = 0.331039428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5015869140625 × 2 - 1) × π
    0.003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00997088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331039428710938 × 2 - 1) × π
    0.337921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06161057898576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00997088} λ = 0.00997088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06161057898576))-π/2
    2×atan(2.89102346331116)-π/2
    2×1.23778027735519-π/2
    2.47556055471038-1.57079632675     		φ = 0.90476423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00997088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90476423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.839172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32872 KachelY 21695 0.00997088 0.90476423 0.571289 51.839172
    Oben rechts KachelX + 1 32873 KachelY 21695 0.01006675 0.90476423 0.576782 51.839172
    Unten links KachelX 32872 KachelY + 1 21696 0.00997088 0.90470499 0.571289 51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 32873 KachelY + 1 21696 0.01006675 0.90470499 0.576782 51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90476423-0.90470499) × R
    5.92399999999049e-05 × 6371000     		dl = 377.418039999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90476423-0.90470499) × R
    5.92399999999049e-05 × 6371000     		dr = 377.418039999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00997088-0.01006675) × cos(0.90476423) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.617870978222671 × 6371000     		do = 377.388036936342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00997088-0.01006675) × cos(0.90470499) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 377.416486278395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90476423)-sin(0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617870978222671-0.617917556336133)×R²
    abs(0.01006675-0.00997088)×4.65781134623144e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.65781134623144e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.65781134623144e-05×40589641000000     		ar = 142438.421909233m²