Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32866 / 24101
↖ ↑ ↗
← N 42.920229°
E  0.538330°		 ← 447.33 m → N 42.920229°
E  0.543823°		 →
↑
447.37 m
↓
↑
447.37 m
↓
N 42.916206°
E  0.538330°		 ← 447.36 m →
200 128 m²		 N 42.916206°
E  0.543823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501502990722656 y=0.367759704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501502990722656 × 216)
    floor (0.501502990722656 × 65536)
    floor (32866.5)     		tx = 32866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367759704589844 × 216)
    floor (0.367759704589844 × 65536)
    floor (24101.5)     		ty = 24101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32866 / 24101 ti = "16/32866/24101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32866/24101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32866 ÷ 216
    32866 ÷ 65536     		x = 0.501495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24101 ÷ 216
    24101 ÷ 65536     		y = 0.367752075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501495361328125 × 2 - 1) × π
    0.00299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00939563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367752075195312 × 2 - 1) × π
    0.264495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.830938218014053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00939563} λ = 0.00939563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830938218014053))-π/2
    2×atan(2.2954713828844)-π/2
    2×1.15994782125263-π/2
    2.31989564250525-1.57079632675     		φ = 0.74909932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00939563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.538330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74909932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.920229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32866 KachelY 24101 0.00939563 0.74909932 0.538330 42.920229
    Oben rechts KachelX + 1 32867 KachelY 24101 0.00949151 0.74909932 0.543823 42.920229
    Unten links KachelX 32866 KachelY + 1 24102 0.00939563 0.74902910 0.538330 42.916206
    Unten rechts KachelX + 1 32867 KachelY + 1 24102 0.00949151 0.74902910 0.543823 42.916206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74909932-0.74902910) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dl = 447.371620000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74909932-0.74902910) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dr = 447.371620000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00939563-0.00949151) × cos(0.74909932) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.732302510407257 × 6371000     		do = 447.328072289986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00939563-0.00949151) × cos(0.74902910) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.732350326979891 × 6371000     		du = 447.357281114148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74909932)-sin(0.74902910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732302510407257-0.732350326979891)×R²
    abs(0.00949151-0.00939563)×4.78165726339741e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78165726339741e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78165726339741e-05×40589641000000     		ar = 200128.418053492m²