Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32861 / 24142
↖ ↑ ↗
← N 42.755080°
E  0.510864°		 ← 448.53 m → N 42.755080°
E  0.516358°		 →
↑
448.52 m
↓
↑
448.52 m
↓
N 42.751046°
E  0.510864°		 ← 448.55 m →
201 178 m²		 N 42.751046°
E  0.516358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501426696777344 y=0.368385314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501426696777344 × 216)
    floor (0.501426696777344 × 65536)
    floor (32861.5)     		tx = 32861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368385314941406 × 216)
    floor (0.368385314941406 × 65536)
    floor (24142.5)     		ty = 24142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32861 / 24142 ti = "16/32861/24142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32861/24142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32861 ÷ 216
    32861 ÷ 65536     		x = 0.501419067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24142 ÷ 216
    24142 ÷ 65536     		y = 0.368377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501419067382812 × 2 - 1) × π
    0.002838134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00891626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368377685546875 × 2 - 1) × π
    0.26324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.827007392245209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00891626} λ = 0.00891626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827007392245209))-π/2
    2×atan(2.28646599572035)-π/2
    2×1.15850661839556-π/2
    2.31701323679113-1.57079632675     		φ = 0.74621691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00891626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.510864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74621691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.755080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32861 KachelY 24142 0.00891626 0.74621691 0.510864 42.755080
    Oben rechts KachelX + 1 32862 KachelY 24142 0.00901214 0.74621691 0.516358 42.755080
    Unten links KachelX 32861 KachelY + 1 24143 0.00891626 0.74614651 0.510864 42.751046
    Unten rechts KachelX + 1 32862 KachelY + 1 24143 0.00901214 0.74614651 0.516358 42.751046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74621691-0.74614651) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dl = 448.518400000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74621691-0.74614651) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dr = 448.518400000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00891626-0.00901214) × cos(0.74621691) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.734262327624382 × 6371000     		do = 448.525229537597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00891626-0.00901214) × cos(0.74614651) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.734310117960204 × 6371000     		du = 448.554422334963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74621691)-sin(0.74614651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734262327624382-0.734310117960204)×R²
    abs(0.00901214-0.00891626)×4.77903358215848e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77903358215848e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77903358215848e-05×40589641000000     		ar = 201178.365148361m²