Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32853 / 21555
↖ ↑ ↗
← N 52.311837°
E  0.466919°		 ← 373.45 m → N 52.311837°
E  0.472412°		 →
↑
373.40 m
↓
↑
373.40 m
↓
N 52.308479°
E  0.466919°		 ← 373.48 m →
139 454 m²		 N 52.308479°
E  0.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501304626464844 y=0.328910827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501304626464844 × 216)
    floor (0.501304626464844 × 65536)
    floor (32853.5)     		tx = 32853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328910827636719 × 216)
    floor (0.328910827636719 × 65536)
    floor (21555.5)     		ty = 21555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32853 / 21555 ti = "16/32853/21555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32853/21555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32853 ÷ 216
    32853 ÷ 65536     		x = 0.501296997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21555 ÷ 216
    21555 ÷ 65536     		y = 0.328903198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501296997070312 × 2 - 1) × π
    0.002593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00814927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328903198242188 × 2 - 1) × π
    0.342193603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07503291087938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00814927} λ = 0.00814927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07503291087938))-π/2
    2×atan(2.93008933076343)-π/2
    2×1.2419050607196-π/2
    2.4838101214392-1.57079632675     		φ = 0.91301379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00814927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.466919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91301379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.311837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32853 KachelY 21555 0.00814927 0.91301379 0.466919 52.311837
    Oben rechts KachelX + 1 32854 KachelY 21555 0.00824515 0.91301379 0.472412 52.311837
    Unten links KachelX 32853 KachelY + 1 21556 0.00814927 0.91295518 0.466919 52.308479
    Unten rechts KachelX + 1 32854 KachelY + 1 21556 0.00824515 0.91295518 0.472412 52.308479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91301379-0.91295518) × R
    5.861000000007e-05 × 6371000     		dl = 373.404310000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91301379-0.91295518) × R
    5.861000000007e-05 × 6371000     		dr = 373.404310000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00814927-0.00824515) × cos(0.91301379) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.611363567312374 × 6371000     		do = 373.452339910842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00814927-0.00824515) × cos(0.91295518) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.611409947277127 × 6371000     		du = 373.480671180953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91301379)-sin(0.91295518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611363567312374-0.611409947277127)×R²
    abs(0.00824515-0.00814927)×4.6379964753096e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.6379964753096e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.6379964753096e-05×40589641000000     		ar = 139454.002851338m²