Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32852 / 24148
↖ ↑ ↗
← N 42.730874°
E  0.461426°		 ← 448.65 m → N 42.730874°
E  0.466919°		 →
↑
448.71 m
↓
↑
448.71 m
↓
N 42.726839°
E  0.461426°		 ← 448.68 m →
201 322 m²		 N 42.726839°
E  0.466919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501289367675781 y=0.368476867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501289367675781 × 216)
    floor (0.501289367675781 × 65536)
    floor (32852.5)     		tx = 32852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368476867675781 × 216)
    floor (0.368476867675781 × 65536)
    floor (24148.5)     		ty = 24148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32852 / 24148 ti = "16/32852/24148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32852/24148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32852 ÷ 216
    32852 ÷ 65536     		x = 0.50128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24148 ÷ 216
    24148 ÷ 65536     		y = 0.36846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50128173828125 × 2 - 1) × π
    0.0025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00805340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36846923828125 × 2 - 1) × π
    0.2630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826432149449768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00805340} λ = 0.00805340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826432149449768))-π/2
    2×atan(2.28515110085745)-π/2
    2×1.15829538760341-π/2
    2.31659077520683-1.57079632675     		φ = 0.74579445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00805340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74579445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.730874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32852 KachelY 24148 0.00805340 0.74579445 0.461426 42.730874
    Oben rechts KachelX + 1 32853 KachelY 24148 0.00814927 0.74579445 0.466919 42.730874
    Unten links KachelX 32852 KachelY + 1 24149 0.00805340 0.74572402 0.461426 42.726839
    Unten rechts KachelX + 1 32853 KachelY + 1 24149 0.00814927 0.74572402 0.466919 42.726839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74579445-0.74572402) × R
    7.04299999999547e-05 × 6371000     		dl = 448.709529999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74579445-0.74572402) × R
    7.04299999999547e-05 × 6371000     		dr = 448.709529999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00805340-0.00814927) × cos(0.74579445) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.734549055757535 × 6371000     		do = 448.653579721749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00805340-0.00814927) × cos(0.74572402) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.734596844605667 × 6371000     		du = 448.68276856573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74579445)-sin(0.74572402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734549055757535-0.734596844605667)×R²
    abs(0.00814927-0.00805340)×4.77888481317246e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77888481317246e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77888481317246e-05×40589641000000     		ar = 201321.685629092m²