Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32848 / 23152
↖ ↑ ↗
← N 46.619261°
E  0.439453°		 ← 419.56 m → N 46.619261°
E  0.444946°		 →
↑
419.53 m
↓
↑
419.53 m
↓
N 46.615488°
E  0.439453°		 ← 419.59 m →
176 024 m²		 N 46.615488°
E  0.444946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501228332519531 y=0.353279113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501228332519531 × 216)
    floor (0.501228332519531 × 65536)
    floor (32848.5)     		tx = 32848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353279113769531 × 216)
    floor (0.353279113769531 × 65536)
    floor (23152.5)     		ty = 23152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32848 / 23152 ti = "16/32848/23152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32848/23152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32848 ÷ 216
    32848 ÷ 65536     		x = 0.501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23152 ÷ 216
    23152 ÷ 65536     		y = 0.353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501220703125 × 2 - 1) × π
    0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353271484375 × 2 - 1) × π
    0.29345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.92192245349292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00766990} λ = 0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92192245349292))-π/2
    2×atan(2.51411902393618)-π/2
    2×1.19222796335235-π/2
    2.38445592670469-1.57079632675     		φ = 0.81365960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81365960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.619261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32848 KachelY 23152 0.00766990 0.81365960 0.439453 46.619261
    Oben rechts KachelX + 1 32849 KachelY 23152 0.00776578 0.81365960 0.444946 46.619261
    Unten links KachelX 32848 KachelY + 1 23153 0.00766990 0.81359375 0.439453 46.615488
    Unten rechts KachelX + 1 32849 KachelY + 1 23153 0.00776578 0.81359375 0.444946 46.615488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81365960-0.81359375) × R
    6.58500000000339e-05 × 6371000     		dl = 419.530350000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81365960-0.81359375) × R
    6.58500000000339e-05 × 6371000     		dr = 419.530350000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00766990-0.00776578) × cos(0.81365960) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.686843220416776 × 6371000     		do = 419.559197719552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00766990-0.00776578) × cos(0.81359375) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.686891079076819 × 6371000     		du = 419.58843225287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81365960)-sin(0.81359375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686843220416776-0.686891079076819)×R²
    abs(0.00776578-0.00766990)×4.78586600429765e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78586600429765e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78586600429765e-05×40589641000000     		ar = 176023.949515401m²