Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32843 / 24117
↖ ↑ ↗
← N 42.855833°
E  0.411987°		 ← 447.80 m → N 42.855833°
E  0.417481°		 →
↑
447.75 m
↓
↑
447.75 m
↓
N 42.851806°
E  0.411987°		 ← 447.82 m →
200 509 m²		 N 42.851806°
E  0.417481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501152038574219 y=0.368003845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501152038574219 × 216)
    floor (0.501152038574219 × 65536)
    floor (32843.5)     		tx = 32843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368003845214844 × 216)
    floor (0.368003845214844 × 65536)
    floor (24117.5)     		ty = 24117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32843 / 24117 ti = "16/32843/24117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32843/24117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32843 ÷ 216
    32843 ÷ 65536     		x = 0.501144409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24117 ÷ 216
    24117 ÷ 65536     		y = 0.367996215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501144409179688 × 2 - 1) × π
    0.002288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00719053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367996215820312 × 2 - 1) × π
    0.264007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.829404237226212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00719053} λ = 0.00719053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.829404237226212))-π/2
    2×atan(2.29195287323707)-π/2
    2×1.15938585891321-π/2
    2.31877171782641-1.57079632675     		φ = 0.74797539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00719053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.411987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74797539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.855833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32843 KachelY 24117 0.00719053 0.74797539 0.411987 42.855833
    Oben rechts KachelX + 1 32844 KachelY 24117 0.00728641 0.74797539 0.417481 42.855833
    Unten links KachelX 32843 KachelY + 1 24118 0.00719053 0.74790511 0.411987 42.851806
    Unten rechts KachelX + 1 32844 KachelY + 1 24118 0.00728641 0.74790511 0.417481 42.851806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74797539-0.74790511) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dl = 447.753879999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74797539-0.74790511) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dr = 447.753879999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00719053-0.00728641) × cos(0.74797539) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.733067420968409 × 6371000     		do = 447.795319038338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00719053-0.00728641) × cos(0.74790511) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.73311522052019 × 6371000     		du = 447.824517465287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74797539)-sin(0.74790511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733067420968409-0.73311522052019)×R²
    abs(0.00728641-0.00719053)×4.77995517809138e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.77995517809138e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.77995517809138e-05×40589641000000     		ar = 200508.628482273m²