Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32843 / 24116
↖ ↑ ↗
← N 42.859860°
E  0.411987°		 ← 447.77 m → N 42.859860°
E  0.417481°		 →
↑
447.75 m
↓
↑
447.75 m
↓
N 42.855833°
E  0.411987°		 ← 447.80 m →
200 496 m²		 N 42.855833°
E  0.417481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501152038574219 y=0.367988586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501152038574219 × 216)
    floor (0.501152038574219 × 65536)
    floor (32843.5)     		tx = 32843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367988586425781 × 216)
    floor (0.367988586425781 × 65536)
    floor (24116.5)     		ty = 24116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32843 / 24116 ti = "16/32843/24116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32843/24116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32843 ÷ 216
    32843 ÷ 65536     		x = 0.501144409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24116 ÷ 216
    24116 ÷ 65536     		y = 0.36798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501144409179688 × 2 - 1) × π
    0.002288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00719053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36798095703125 × 2 - 1) × π
    0.2640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.829500111025452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00719053} λ = 0.00719053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.829500111025452))-π/2
    2×atan(2.29217262200061)-π/2
    2×1.15942099874679-π/2
    2.31884199749357-1.57079632675     		φ = 0.74804567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00719053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.411987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74804567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.859860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32843 KachelY 24116 0.00719053 0.74804567 0.411987 42.859860
    Oben rechts KachelX + 1 32844 KachelY 24116 0.00728641 0.74804567 0.417481 42.859860
    Unten links KachelX 32843 KachelY + 1 24117 0.00719053 0.74797539 0.411987 42.855833
    Unten rechts KachelX + 1 32844 KachelY + 1 24117 0.00728641 0.74797539 0.417481 42.855833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74804567-0.74797539) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dl = 447.753879999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74804567-0.74797539) × R
    7.02799999999781e-05 × 6371000     		dr = 447.753879999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00719053-0.00728641) × cos(0.74804567) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.733019617795804 × 6371000     		do = 447.766118399603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00719053-0.00728641) × cos(0.74797539) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.733067420968409 × 6371000     		du = 447.795319038338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74804567)-sin(0.74797539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733019617795804-0.733067420968409)×R²
    abs(0.00728641-0.00719053)×4.78031726049988e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78031726049988e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78031726049988e-05×40589641000000     		ar = 200495.554278307m²