Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32842 / 24146
↖ ↑ ↗
← N 42.738944°
E  0.406494°		 ← 448.60 m → N 42.738944°
E  0.411987°		 →
↑
448.65 m
↓
↑
448.65 m
↓
N 42.734909°
E  0.406494°		 ← 448.62 m →
201 267 m²		 N 42.734909°
E  0.411987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501136779785156 y=0.368446350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501136779785156 × 216)
    floor (0.501136779785156 × 65536)
    floor (32842.5)     		tx = 32842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368446350097656 × 216)
    floor (0.368446350097656 × 65536)
    floor (24146.5)     		ty = 24146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32842 / 24146 ti = "16/32842/24146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32842/24146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32842 ÷ 216
    32842 ÷ 65536     		x = 0.501129150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24146 ÷ 216
    24146 ÷ 65536     		y = 0.368438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501129150390625 × 2 - 1) × π
    0.00225830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00709466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368438720703125 × 2 - 1) × π
    0.26312255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826623897048248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00709466} λ = 0.00709466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826623897048248))-π/2
    2×atan(2.28558931510513)-π/2
    2×1.1583658070307-π/2
    2.3167316140614-1.57079632675     		φ = 0.74593529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00709466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.406494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74593529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.738944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32842 KachelY 24146 0.00709466 0.74593529 0.406494 42.738944
    Oben rechts KachelX + 1 32843 KachelY 24146 0.00719053 0.74593529 0.411987 42.738944
    Unten links KachelX 32842 KachelY + 1 24147 0.00709466 0.74586487 0.406494 42.734909
    Unten rechts KachelX + 1 32843 KachelY + 1 24147 0.00719053 0.74586487 0.411987 42.734909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74593529-0.74586487) × R
    7.04200000000155e-05 × 6371000     		dl = 448.645820000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74593529-0.74586487) × R
    7.04200000000155e-05 × 6371000     		dr = 448.645820000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00709466-0.00719053) × cos(0.74593529) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.734453480703751 × 6371000     		do = 448.59520364778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00709466-0.00719053) × cos(0.74586487) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73450127005183 × 6371000     		du = 448.624392797124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74593529)-sin(0.74586487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734453480703751-0.73450127005183)×R²
    abs(0.00719053-0.00709466)×4.77893480791414e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77893480791414e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77893480791414e-05×40589641000000     		ar = 201266.910867143m²