Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32840 / 23112
↖ ↑ ↗
← N 46.769968°
E  0.395508°		 ← 418.39 m → N 46.769968°
E  0.401001°		 →
↑
418.38 m
↓
↑
418.38 m
↓
N 46.766206°
E  0.395508°		 ← 418.42 m →
175 054 m²		 N 46.766206°
E  0.401001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501106262207031 y=0.352668762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501106262207031 × 216)
    floor (0.501106262207031 × 65536)
    floor (32840.5)     		tx = 32840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352668762207031 × 216)
    floor (0.352668762207031 × 65536)
    floor (23112.5)     		ty = 23112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32840 / 23112 ti = "16/32840/23112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32840/23112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32840 ÷ 216
    32840 ÷ 65536     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23112 ÷ 216
    23112 ÷ 65536     		y = 0.3526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3526611328125 × 2 - 1) × π
    0.294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.925757405462524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925757405462524))-π/2
    2×atan(2.52377906068827)-π/2
    2×1.19354313349819-π/2
    2.38708626699638-1.57079632675     		φ = 0.81628994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81628994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.769968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32840 KachelY 23112 0.00690291 0.81628994 0.395508 46.769968
    Oben rechts KachelX + 1 32841 KachelY 23112 0.00699879 0.81628994 0.401001 46.769968
    Unten links KachelX 32840 KachelY + 1 23113 0.00690291 0.81622427 0.395508 46.766206
    Unten rechts KachelX + 1 32841 KachelY + 1 23113 0.00699879 0.81622427 0.401001 46.766206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81628994-0.81622427) × R
    6.56700000000177e-05 × 6371000     		dl = 418.383570000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81628994-0.81622427) × R
    6.56700000000177e-05 × 6371000     		dr = 418.383570000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00699879) × cos(0.81628994) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.684929100734778 × 6371000     		do = 418.38995487891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00699879) × cos(0.81622427) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.684976947058291 × 6371000     		du = 418.41918187644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81628994)-sin(0.81622427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684929100734778-0.684976947058291)×R²
    abs(0.00699879-0.00690291)×4.78463235129567e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78463235129567e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78463235129567e-05×40589641000000     		ar = 175053.597084921m²