Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32839 / 32841
↖ ↑ ↗
← S  0.400998°
E  0.390015°		 ← 610.77 m → S  0.400998°
E  0.395508°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.406491°
E  0.390015°		 ← 610.77 m →
373 052 m²		 S  0.406491°
E  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501091003417969 y=0.501121520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501091003417969 × 216)
    floor (0.501091003417969 × 65536)
    floor (32839.5)     		tx = 32839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501121520996094 × 216)
    floor (0.501121520996094 × 65536)
    floor (32841.5)     		ty = 32841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32839 / 32841 ti = "16/32839/32841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32839/32841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32839 ÷ 216
    32839 ÷ 65536     		x = 0.501083374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32841 ÷ 216
    32841 ÷ 65536     		y = 0.501113891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501083374023438 × 2 - 1) × π
    0.002166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00680704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501113891601562 × 2 - 1) × π
    -0.002227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0069987873445282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00680704} λ = 0.00680704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0069987873445282))-π/2
    2×atan(0.99302564713049)-π/2
    2×0.781898798293315-π/2
    1.56379759658663-1.57079632675     		φ = -0.00699873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00680704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.390015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00699873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.400998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32839 KachelY 32841 0.00680704 -0.00699873 0.390015 -0.400998
    Oben rechts KachelX + 1 32840 KachelY 32841 0.00690291 -0.00699873 0.395508 -0.400998
    Unten links KachelX 32839 KachelY + 1 32842 0.00680704 -0.00709460 0.390015 -0.406491
    Unten rechts KachelX + 1 32840 KachelY + 1 32842 0.00690291 -0.00709460 0.395508 -0.406491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00699873--0.00709460) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00699873--0.00709460) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00680704-0.00690291) × cos(-0.00699873) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999975508989162 × 6371000     		do = 610.772811190103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00680704-0.00690291) × cos(-0.00709460) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.99997483343098 × 6371000     		du = 610.772398567427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00699873)-sin(-0.00709460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999975508989162-0.99997483343098)×R²
    abs(0.00690291-0.00680704)×6.75558182394731e-07×R²
    9.58699999999996e-05×6.75558182394731e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×6.75558182394731e-07×40589641000000     		ar = 373052.43759672m²