Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32837 / 24139
↖ ↑ ↗
← N 42.767179°
E  0.379028°		 ← 448.44 m → N 42.767179°
E  0.384522°		 →
↑
448.45 m
↓
↑
448.45 m
↓
N 42.763146°
E  0.379028°		 ← 448.47 m →
201 111 m²		 N 42.763146°
E  0.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501060485839844 y=0.368339538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501060485839844 × 216)
    floor (0.501060485839844 × 65536)
    floor (32837.5)     		tx = 32837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368339538574219 × 216)
    floor (0.368339538574219 × 65536)
    floor (24139.5)     		ty = 24139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32837 / 24139 ti = "16/32837/24139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32837/24139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32837 ÷ 216
    32837 ÷ 65536     		x = 0.501052856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24139 ÷ 216
    24139 ÷ 65536     		y = 0.368331909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501052856445312 × 2 - 1) × π
    0.002105712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00661529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368331909179688 × 2 - 1) × π
    0.263336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.827295013642929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00661529} λ = 0.00661529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827295013642929))-π/2
    2×atan(2.28712372685012)-π/2
    2×1.15861220286491-π/2
    2.31722440572982-1.57079632675     		φ = 0.74642808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00661529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.379028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74642808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.767179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32837 KachelY 24139 0.00661529 0.74642808 0.379028 42.767179
    Oben rechts KachelX + 1 32838 KachelY 24139 0.00671117 0.74642808 0.384522 42.767179
    Unten links KachelX 32837 KachelY + 1 24140 0.00661529 0.74635769 0.379028 42.763146
    Unten rechts KachelX + 1 32838 KachelY + 1 24140 0.00671117 0.74635769 0.384522 42.763146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74642808-0.74635769) × R
    7.03900000000868e-05 × 6371000     		dl = 448.454690000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74642808-0.74635769) × R
    7.03900000000868e-05 × 6371000     		dr = 448.454690000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00661529-0.00671117) × cos(0.74642808) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.734118955153762 × 6371000     		do = 448.437650251727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00661529-0.00671117) × cos(0.74635769) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.734166749614995 × 6371000     		du = 448.466845569107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74642808)-sin(0.74635769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734118955153762-0.734166749614995)×R²
    abs(0.00671117-0.00661529)×4.77944612331527e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77944612331527e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77944612331527e-05×40589641000000     		ar = 201110.513900066m²