Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32837 / 21674
↖ ↑ ↗
← N 51.910390°
E  0.379028°		 ← 376.83 m → N 51.910390°
E  0.384522°		 →
↑
376.78 m
↓
↑
376.78 m
↓
N 51.907002°
E  0.379028°		 ← 376.86 m →
141 988 m²		 N 51.907002°
E  0.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501060485839844 y=0.330726623535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501060485839844 × 216)
    floor (0.501060485839844 × 65536)
    floor (32837.5)     		tx = 32837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330726623535156 × 216)
    floor (0.330726623535156 × 65536)
    floor (21674.5)     		ty = 21674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32837 / 21674 ti = "16/32837/21674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32837/21674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32837 ÷ 216
    32837 ÷ 65536     		x = 0.501052856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21674 ÷ 216
    21674 ÷ 65536     		y = 0.330718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501052856445312 × 2 - 1) × π
    0.002105712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00661529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330718994140625 × 2 - 1) × π
    0.33856201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06362392876981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00661529} λ = 0.00661529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06362392876981))-π/2
    2×atan(2.89684996820468)-π/2
    2×1.2384017803302-π/2
    2.47680356066039-1.57079632675     		φ = 0.90600723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00661529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.379028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90600723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.910390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32837 KachelY 21674 0.00661529 0.90600723 0.379028 51.910390
    Oben rechts KachelX + 1 32838 KachelY 21674 0.00671117 0.90600723 0.384522 51.910390
    Unten links KachelX 32837 KachelY + 1 21675 0.00661529 0.90594809 0.379028 51.907002
    Unten rechts KachelX + 1 32838 KachelY + 1 21675 0.00671117 0.90594809 0.384522 51.907002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90600723-0.90594809) × R
    5.91400000000686e-05 × 6371000     		dl = 376.780940000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90600723-0.90594809) × R
    5.91400000000686e-05 × 6371000     		dr = 376.780940000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00661529-0.00671117) × cos(0.90600723) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.616893155733739 × 6371000     		do = 376.830097181823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00661529-0.00671117) × cos(0.90594809) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.61693970060901 × 6371000     		du = 376.858529187769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90600723)-sin(0.90594809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616893155733739-0.61693970060901)×R²
    abs(0.00671117-0.00661529)×4.6544875270893e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.6544875270893e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.6544875270893e-05×40589641000000     		ar = 141987.754597079m²