Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32833 / 24144
↖ ↑ ↗
← N 42.747012°
E  0.357056°		 ← 448.54 m → N 42.747012°
E  0.362549°		 →
↑
448.58 m
↓
↑
448.58 m
↓
N 42.742978°
E  0.357056°		 ← 448.57 m →
201 212 m²		 N 42.742978°
E  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500999450683594 y=0.368415832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500999450683594 × 216)
    floor (0.500999450683594 × 65536)
    floor (32833.5)     		tx = 32833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368415832519531 × 216)
    floor (0.368415832519531 × 65536)
    floor (24144.5)     		ty = 24144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32833 / 24144 ti = "16/32833/24144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32833/24144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32833 ÷ 216
    32833 ÷ 65536     		x = 0.500991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24144 ÷ 216
    24144 ÷ 65536     		y = 0.368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500991821289062 × 2 - 1) × π
    0.001983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00623180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368408203125 × 2 - 1) × π
    0.26318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826815644646729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00623180} λ = 0.00623180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826815644646729))-π/2
    2×atan(2.28602761338739)-π/2
    2×1.15843621729482-π/2
    2.31687243458964-1.57079632675     		φ = 0.74607611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00623180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74607611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.747012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32833 KachelY 24144 0.00623180 0.74607611 0.357056 42.747012
    Oben rechts KachelX + 1 32834 KachelY 24144 0.00632767 0.74607611 0.362549 42.747012
    Unten links KachelX 32833 KachelY + 1 24145 0.00623180 0.74600570 0.357056 42.742978
    Unten rechts KachelX + 1 32834 KachelY + 1 24145 0.00632767 0.74600570 0.362549 42.742978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74607611-0.74600570) × R
    7.04099999999652e-05 × 6371000     		dl = 448.582109999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74607611-0.74600570) × R
    7.04099999999652e-05 × 6371000     		dr = 448.582109999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00623180-0.00632767) × cos(0.74607611) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.734357904656667 × 6371000     		do = 448.536826967116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00623180-0.00632767) × cos(0.74600570) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.734405694500642 × 6371000     		du = 448.566016419347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74607611)-sin(0.74600570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734357904656667-0.734405694500642)×R²
    abs(0.00632767-0.00623180)×4.77898439753544e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77898439753544e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77898439753544e-05×40589641000000     		ar = 201212.143269885m²