Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32832 / 24143
↖ ↑ ↗
← N 42.751046°
E  0.351562°		 ← 448.55 m → N 42.751046°
E  0.357056°		 →
↑
448.52 m
↓
↑
448.52 m
↓
N 42.747012°
E  0.351562°		 ← 448.58 m →
201 191 m²		 N 42.747012°
E  0.357056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500984191894531 y=0.368400573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500984191894531 × 216)
    floor (0.500984191894531 × 65536)
    floor (32832.5)     		tx = 32832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368400573730469 × 216)
    floor (0.368400573730469 × 65536)
    floor (24143.5)     		ty = 24143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32832 / 24143 ti = "16/32832/24143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32832/24143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32832 ÷ 216
    32832 ÷ 65536     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24143 ÷ 216
    24143 ÷ 65536     		y = 0.368392944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368392944335938 × 2 - 1) × π
    0.263214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.826911518445969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826911518445969))-π/2
    2×atan(2.28624679404653)-π/2
    2×1.15847141899063-π/2
    2.31694283798125-1.57079632675     		φ = 0.74614651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74614651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.751046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32832 KachelY 24143 0.00613592 0.74614651 0.351562 42.751046
    Oben rechts KachelX + 1 32833 KachelY 24143 0.00623180 0.74614651 0.357056 42.751046
    Unten links KachelX 32832 KachelY + 1 24144 0.00613592 0.74607611 0.351562 42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 32833 KachelY + 1 24144 0.00623180 0.74607611 0.357056 42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74614651-0.74607611) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dl = 448.518400000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74614651-0.74607611) × R
    7.0400000000026e-05 × 6371000     		dr = 448.518400000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00623180) × cos(0.74614651) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.734310117960204 × 6371000     		do = 448.554422334967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00623180) × cos(0.74607611) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 448.583612909226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74614651)-sin(0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734310117960204-0.734357904656667)×R²
    abs(0.00623180-0.00613592)×4.77866964631035e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.77866964631035e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.77866964631035e-05×40589641000000     		ar = 201191.458156419m²