Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32829 / 24140
↖ ↑ ↗
← N 42.763146°
E  0.335083°		 ← 448.47 m → N 42.763146°
E  0.340576°		 →
↑
448.45 m
↓
↑
448.45 m
↓
N 42.759113°
E  0.335083°		 ← 448.50 m →
201 124 m²		 N 42.759113°
E  0.340576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500938415527344 y=0.368354797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500938415527344 × 216)
    floor (0.500938415527344 × 65536)
    floor (32829.5)     		tx = 32829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368354797363281 × 216)
    floor (0.368354797363281 × 65536)
    floor (24140.5)     		ty = 24140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32829 / 24140 ti = "16/32829/24140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32829/24140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32829 ÷ 216
    32829 ÷ 65536     		x = 0.500930786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24140 ÷ 216
    24140 ÷ 65536     		y = 0.36834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500930786132812 × 2 - 1) × π
    0.001861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00584830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36834716796875 × 2 - 1) × π
    0.2633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.827199139843689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00584830} λ = 0.00584830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827199139843689))-π/2
    2×atan(2.28690446212013)-π/2
    2×1.15857701033273-π/2
    2.31715402066546-1.57079632675     		φ = 0.74635769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00584830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.335083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74635769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.763146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32829 KachelY 24140 0.00584830 0.74635769 0.335083 42.763146
    Oben rechts KachelX + 1 32830 KachelY 24140 0.00594418 0.74635769 0.340576 42.763146
    Unten links KachelX 32829 KachelY + 1 24141 0.00584830 0.74628730 0.335083 42.759113
    Unten rechts KachelX + 1 32830 KachelY + 1 24141 0.00594418 0.74628730 0.340576 42.759113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74635769-0.74628730) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dl = 448.454689999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74635769-0.74628730) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dr = 448.454689999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00584830-0.00594418) × cos(0.74635769) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.734166749614995 × 6371000     		do = 448.466845569111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00584830-0.00594418) × cos(0.74628730) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.734214540438614 × 6371000     		du = 448.496038664449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74635769)-sin(0.74628730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734166749614995-0.734214540438614)×R²
    abs(0.00594418-0.00584830)×4.77908236189428e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.77908236189428e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.77908236189428e-05×40589641000000     		ar = 201123.606177928m²