Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32828 / 24141
↖ ↑ ↗
← N 42.759113°
E  0.329590°		 ← 448.45 m → N 42.759113°
E  0.335083°		 →
↑
448.45 m
↓
↑
448.45 m
↓
N 42.755080°
E  0.329590°		 ← 448.48 m →
201 116 m²		 N 42.755080°
E  0.335083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500923156738281 y=0.368370056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500923156738281 × 216)
    floor (0.500923156738281 × 65536)
    floor (32828.5)     		tx = 32828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368370056152344 × 216)
    floor (0.368370056152344 × 65536)
    floor (24141.5)     		ty = 24141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32828 / 24141 ti = "16/32828/24141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32828/24141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32828 ÷ 216
    32828 ÷ 65536     		x = 0.50091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24141 ÷ 216
    24141 ÷ 65536     		y = 0.368362426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50091552734375 × 2 - 1) × π
    0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368362426757812 × 2 - 1) × π
    0.263275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.827103266044449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00575243} λ = 0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827103266044449))-π/2
    2×atan(2.28668521841088)-π/2
    2×1.15854181550961-π/2
    2.31708363101921-1.57079632675     		φ = 0.74628730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74628730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.759113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32828 KachelY 24141 0.00575243 0.74628730 0.329590 42.759113
    Oben rechts KachelX + 1 32829 KachelY 24141 0.00584830 0.74628730 0.335083 42.759113
    Unten links KachelX 32828 KachelY + 1 24142 0.00575243 0.74621691 0.329590 42.755080
    Unten rechts KachelX + 1 32829 KachelY + 1 24142 0.00584830 0.74621691 0.335083 42.755080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74628730-0.74621691) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dl = 448.454689999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74628730-0.74621691) × R
    7.03899999999757e-05 × 6371000     		dr = 448.454689999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00575243-0.00584830) × cos(0.74628730) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.734214540438614 × 6371000     		do = 448.449261856074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00575243-0.00584830) × cos(0.74621691) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.734262327624382 × 6371000     		du = 448.478449684704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74628730)-sin(0.74621691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734214540438614-0.734262327624382)×R²
    abs(0.00584830-0.00575243)×4.77871857678114e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77871857678114e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77871857678114e-05×40589641000000     		ar = 201115.719498959m²