Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32819 / 24275
↖ ↑ ↗
← N 42.216314°
E  0.280151°		 ← 452.40 m → N 42.216314°
E  0.285645°		 →
↑
452.40 m
↓
↑
452.40 m
↓
N 42.212245°
E  0.280151°		 ← 452.43 m →
204 677 m²		 N 42.212245°
E  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500785827636719 y=0.370414733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500785827636719 × 216)
    floor (0.500785827636719 × 65536)
    floor (32819.5)     		tx = 32819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370414733886719 × 216)
    floor (0.370414733886719 × 65536)
    floor (24275.5)     		ty = 24275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32819 / 24275 ti = "16/32819/24275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32819/24275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32819 ÷ 216
    32819 ÷ 65536     		x = 0.500778198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24275 ÷ 216
    24275 ÷ 65536     		y = 0.370407104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500778198242188 × 2 - 1) × π
    0.001556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00488956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370407104492188 × 2 - 1) × π
    0.259185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.814256176946274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00488956} λ = 0.00488956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814256176946274))-π/2
    2×atan(2.25749587021742)-π/2
    2×1.15380499861398-π/2
    2.30760999722795-1.57079632675     		φ = 0.73681367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00488956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.280151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73681367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.216314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32819 KachelY 24275 0.00488956 0.73681367 0.280151 42.216314
    Oben rechts KachelX + 1 32820 KachelY 24275 0.00498544 0.73681367 0.285645 42.216314
    Unten links KachelX 32819 KachelY + 1 24276 0.00488956 0.73674266 0.280151 42.212245
    Unten rechts KachelX + 1 32820 KachelY + 1 24276 0.00498544 0.73674266 0.285645 42.212245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73681367-0.73674266) × R
    7.10099999999825e-05 × 6371000     		dl = 452.404709999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73681367-0.73674266) × R
    7.10099999999825e-05 × 6371000     		dr = 452.404709999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00488956-0.00498544) × cos(0.73681367) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.74061331017425 × 6371000     		do = 452.404736627638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00488956-0.00498544) × cos(0.73674266) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.740661022161943 × 6371000     		du = 452.433881565934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73681367)-sin(0.73674266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74061331017425-0.740661022161943)×R²
    abs(0.00498544-0.00488956)×4.77119876930443e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77119876930443e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77119876930443e-05×40589641000000     		ar = 204676.62641612m²