Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32819 / 24274
↖ ↑ ↗
← N 42.220382°
E  0.280151°		 ← 452.38 m → N 42.220382°
E  0.285645°		 →
↑
452.34 m
↓
↑
452.34 m
↓
N 42.216314°
E  0.280151°		 ← 452.40 m →
204 635 m²		 N 42.216314°
E  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500785827636719 y=0.370399475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500785827636719 × 216)
    floor (0.500785827636719 × 65536)
    floor (32819.5)     		tx = 32819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370399475097656 × 216)
    floor (0.370399475097656 × 65536)
    floor (24274.5)     		ty = 24274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32819 / 24274 ti = "16/32819/24274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32819/24274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32819 ÷ 216
    32819 ÷ 65536     		x = 0.500778198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24274 ÷ 216
    24274 ÷ 65536     		y = 0.370391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500778198242188 × 2 - 1) × π
    0.001556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00488956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370391845703125 × 2 - 1) × π
    0.25921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814352050745514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00488956} λ = 0.00488956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814352050745514))-π/2
    2×atan(2.2577123152988)-π/2
    2×1.15384050017631-π/2
    2.30768100035262-1.57079632675     		φ = 0.73688467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00488956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.280151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73688467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.220382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32819 KachelY 24274 0.00488956 0.73688467 0.280151 42.220382
    Oben rechts KachelX + 1 32820 KachelY 24274 0.00498544 0.73688467 0.285645 42.220382
    Unten links KachelX 32819 KachelY + 1 24275 0.00488956 0.73681367 0.280151 42.216314
    Unten rechts KachelX + 1 32820 KachelY + 1 24275 0.00498544 0.73681367 0.285645 42.216314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73688467-0.73681367) × R
    7.10000000000433e-05 × 6371000     		dl = 452.341000000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73688467-0.73681367) × R
    7.10000000000433e-05 × 6371000     		dr = 452.341000000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00488956-0.00498544) × cos(0.73688467) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.740565601171915 × 6371000     		do = 452.375593512952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00488956-0.00498544) × cos(0.73681367) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.74061331017425 × 6371000     		du = 452.404736627638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73688467)-sin(0.73681367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740565601171915-0.74061331017425)×R²
    abs(0.00498544-0.00488956)×4.77090023357496e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77090023357496e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77090023357496e-05×40589641000000     		ar = 204634.619744156m²