Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32818 / 24276
↖ ↑ ↗
← N 42.212245°
E  0.274658°		 ← 452.39 m → N 42.212245°
E  0.280151°		 →
↑
452.40 m
↓
↑
452.40 m
↓
N 42.208176°
E  0.274658°		 ← 452.42 m →
204 668 m²		 N 42.208176°
E  0.280151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500770568847656 y=0.370429992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500770568847656 × 216)
    floor (0.500770568847656 × 65536)
    floor (32818.5)     		tx = 32818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370429992675781 × 216)
    floor (0.370429992675781 × 65536)
    floor (24276.5)     		ty = 24276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32818 / 24276 ti = "16/32818/24276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32818/24276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32818 ÷ 216
    32818 ÷ 65536     		x = 0.500762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24276 ÷ 216
    24276 ÷ 65536     		y = 0.37042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500762939453125 × 2 - 1) × π
    0.00152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00479369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37042236328125 × 2 - 1) × π
    0.2591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814160303147034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00479369} λ = 0.00479369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814160303147034))-π/2
    2×atan(2.25727944588645)-π/2
    2×1.15376949476453-π/2
    2.30753898952907-1.57079632675     		φ = 0.73674266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00479369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73674266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.212245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32818 KachelY 24276 0.00479369 0.73674266 0.274658 42.212245
    Oben rechts KachelX + 1 32819 KachelY 24276 0.00488956 0.73674266 0.280151 42.212245
    Unten links KachelX 32818 KachelY + 1 24277 0.00479369 0.73667165 0.274658 42.208176
    Unten rechts KachelX + 1 32819 KachelY + 1 24277 0.00488956 0.73667165 0.280151 42.208176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73674266-0.73667165) × R
    7.10099999999825e-05 × 6371000     		dl = 452.404709999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73674266-0.73667165) × R
    7.10099999999825e-05 × 6371000     		dr = 452.404709999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00479369-0.00488956) × cos(0.73674266) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.740661022161943 × 6371000     		do = 452.386694052216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00479369-0.00488956) × cos(0.73667165) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.740708730414912 × 6371000     		du = 452.415833669658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73674266)-sin(0.73667165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740661022161943-0.740708730414912)×R²
    abs(0.00488956-0.00479369)×4.77082529689588e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.77082529689588e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.77082529689588e-05×40589641000000     		ar = 204668.462666366m²