Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32814 / 24248
↖ ↑ ↗
← N 42.326062°
E  0.252685°		 ← 451.62 m → N 42.326062°
E  0.258179°		 →
↑
451.64 m
↓
↑
451.64 m
↓
N 42.322001°
E  0.252685°		 ← 451.65 m →
203 975 m²		 N 42.322001°
E  0.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500709533691406 y=0.370002746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500709533691406 × 216)
    floor (0.500709533691406 × 65536)
    floor (32814.5)     		tx = 32814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370002746582031 × 216)
    floor (0.370002746582031 × 65536)
    floor (24248.5)     		ty = 24248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32814 / 24248 ti = "16/32814/24248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32814/24248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32814 ÷ 216
    32814 ÷ 65536     		x = 0.500701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24248 ÷ 216
    24248 ÷ 65536     		y = 0.3699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500701904296875 × 2 - 1) × π
    0.00140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00441019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3699951171875 × 2 - 1) × π
    0.260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.816844769525757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00441019} λ = 0.00441019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816844769525757))-π/2
    2×atan(2.26334717733299)-π/2
    2×1.15476273791998-π/2
    2.30952547583996-1.57079632675     		φ = 0.73872915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00441019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.252685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73872915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.326062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32814 KachelY 24248 0.00441019 0.73872915 0.252685 42.326062
    Oben rechts KachelX + 1 32815 KachelY 24248 0.00450607 0.73872915 0.258179 42.326062
    Unten links KachelX 32814 KachelY + 1 24249 0.00441019 0.73865826 0.252685 42.322001
    Unten rechts KachelX + 1 32815 KachelY + 1 24249 0.00450607 0.73865826 0.258179 42.322001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73872915-0.73865826) × R
    7.08899999999346e-05 × 6371000     		dl = 451.640189999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73872915-0.73865826) × R
    7.08899999999346e-05 × 6371000     		dr = 451.640189999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00441019-0.00450607) × cos(0.73872915) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.739324880956086 × 6371000     		do = 451.617697732851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00441019-0.00450607) × cos(0.73865826) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.739372612800776 × 6371000     		du = 451.646854800823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73872915)-sin(0.73865826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739324880956086-0.739372612800776)×R²
    abs(0.00450607-0.00441019)×4.77318446908681e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.77318446908681e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.77318446908681e-05×40589641000000     		ar = 203975.287148721m²