Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32814 / 24246
↖ ↑ ↗
← N 42.334184°
E  0.252685°		 ← 451.56 m → N 42.334184°
E  0.258179°		 →
↑
451.51 m
↓
↑
451.51 m
↓
N 42.330124°
E  0.252685°		 ← 451.59 m →
203 891 m²		 N 42.330124°
E  0.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500709533691406 y=0.369972229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500709533691406 × 216)
    floor (0.500709533691406 × 65536)
    floor (32814.5)     		tx = 32814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369972229003906 × 216)
    floor (0.369972229003906 × 65536)
    floor (24246.5)     		ty = 24246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32814 / 24246 ti = "16/32814/24246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32814/24246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32814 ÷ 216
    32814 ÷ 65536     		x = 0.500701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24246 ÷ 216
    24246 ÷ 65536     		y = 0.369964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500701904296875 × 2 - 1) × π
    0.00140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00441019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369964599609375 × 2 - 1) × π
    0.26007080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.817036517124237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00441019} λ = 0.00441019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817036517124237))-π/2
    2×atan(2.26378121032983)-π/2
    2×1.15483361522933-π/2
    2.30966723045865-1.57079632675     		φ = 0.73887090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00441019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.252685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73887090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.334184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32814 KachelY 24246 0.00441019 0.73887090 0.252685 42.334184
    Oben rechts KachelX + 1 32815 KachelY 24246 0.00450607 0.73887090 0.258179 42.334184
    Unten links KachelX 32814 KachelY + 1 24247 0.00441019 0.73880003 0.252685 42.330124
    Unten rechts KachelX + 1 32815 KachelY + 1 24247 0.00450607 0.73880003 0.258179 42.330124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73887090-0.73880003) × R
    7.08699999999451e-05 × 6371000     		dl = 451.512769999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73887090-0.73880003) × R
    7.08699999999451e-05 × 6371000     		dr = 451.512769999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00441019-0.00450607) × cos(0.73887090) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.739229426324362 × 6371000     		do = 451.559389129789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00441019-0.00450607) × cos(0.73880003) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.73927715213001 × 6371000     		du = 451.588542508804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73887090)-sin(0.73880003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739229426324362-0.73927715213001)×R²
    abs(0.00450607-0.00441019)×4.77258056481578e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.77258056481578e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.77258056481578e-05×40589641000000     		ar = 203891.412252344m²