Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32813 / 21562
↖ ↑ ↗
← N 52.288323°
E  0.247192°		 ← 373.61 m → N 52.288323°
E  0.252685°		 →
↑
373.66 m
↓
↑
373.66 m
↓
N 52.284962°
E  0.247192°		 ← 373.64 m →
139 609 m²		 N 52.284962°
E  0.252685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500694274902344 y=0.329017639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500694274902344 × 216)
    floor (0.500694274902344 × 65536)
    floor (32813.5)     		tx = 32813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329017639160156 × 216)
    floor (0.329017639160156 × 65536)
    floor (21562.5)     		ty = 21562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32813 / 21562 ti = "16/32813/21562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32813/21562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32813 ÷ 216
    32813 ÷ 65536     		x = 0.500686645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21562 ÷ 216
    21562 ÷ 65536     		y = 0.329010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500686645507812 × 2 - 1) × π
    0.001373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00431432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329010009765625 × 2 - 1) × π
    0.34197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0743617942847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00431432} λ = 0.00431432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0743617942847))-π/2
    2×atan(2.9281235588945)-π/2
    2×1.24169985812339-π/2
    2.48339971624678-1.57079632675     		φ = 0.91260339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00431432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.247192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91260339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.288323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32813 KachelY 21562 0.00431432 0.91260339 0.247192 52.288323
    Oben rechts KachelX + 1 32814 KachelY 21562 0.00441019 0.91260339 0.252685 52.288323
    Unten links KachelX 32813 KachelY + 1 21563 0.00431432 0.91254474 0.247192 52.284962
    Unten rechts KachelX + 1 32814 KachelY + 1 21563 0.00441019 0.91254474 0.252685 52.284962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91260339-0.91254474) × R
    5.86500000000489e-05 × 6371000     		dl = 373.659150000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91260339-0.91254474) × R
    5.86500000000489e-05 × 6371000     		dr = 373.659150000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00431432-0.00441019) × cos(0.91260339) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.611688285797177 × 6371000     		do = 373.611724017179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00431432-0.00441019) × cos(0.91254474) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		du = 373.640062674646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91260339)-sin(0.91254474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611688285797177-0.611734682694527)×R²
    abs(0.00441019-0.00431432)×4.63968973500872e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.63968973500872e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.63968973500872e-05×40589641000000     		ar = 139608.733765728m²