Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32809 / 24265
↖ ↑ ↗
← N 42.256984°
E  0.225220°		 ← 452.07 m → N 42.256984°
E  0.230713°		 →
↑
452.15 m
↓
↑
452.15 m
↓
N 42.252918°
E  0.225220°		 ← 452.10 m →
204 408 m²		 N 42.252918°
E  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500633239746094 y=0.370262145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500633239746094 × 216)
    floor (0.500633239746094 × 65536)
    floor (32809.5)     		tx = 32809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370262145996094 × 216)
    floor (0.370262145996094 × 65536)
    floor (24265.5)     		ty = 24265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32809 / 24265 ti = "16/32809/24265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32809/24265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32809 ÷ 216
    32809 ÷ 65536     		x = 0.500625610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24265 ÷ 216
    24265 ÷ 65536     		y = 0.370254516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500625610351562 × 2 - 1) × π
    0.001251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00393083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370254516601562 × 2 - 1) × π
    0.259490966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.815214914938675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00393083} λ = 0.00393083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.815214914938675))-π/2
    2×atan(2.25966125512841)-π/2
    2×1.15415991131233-π/2
    2.30831982262465-1.57079632675     		φ = 0.73752350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00393083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.225220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73752350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.256984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32809 KachelY 24265 0.00393083 0.73752350 0.225220 42.256984
    Oben rechts KachelX + 1 32810 KachelY 24265 0.00402670 0.73752350 0.230713 42.256984
    Unten links KachelX 32809 KachelY + 1 24266 0.00393083 0.73745253 0.225220 42.252918
    Unten rechts KachelX + 1 32810 KachelY + 1 24266 0.00402670 0.73745253 0.230713 42.252918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73752350-0.73745253) × R
    7.09700000000035e-05 × 6371000     		dl = 452.149870000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73752350-0.73745253) × R
    7.09700000000035e-05 × 6371000     		dr = 452.149870000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00393083-0.00402670) × cos(0.73752350) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.740136166503861 × 6371000     		do = 452.066118635244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00393083-0.00402670) × cos(0.73745253) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.740183888915189 × 6371000     		du = 452.095266900438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73752350)-sin(0.73745253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740136166503861-0.740183888915189)×R²
    abs(0.00402670-0.00393083)×4.77224113278885e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.77224113278885e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.77224113278885e-05×40589641000000     		ar = 204408.22655017m²