Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32808 / 24216
↖ ↑ ↗
← N 42.455888°
E  0.219726°		 ← 450.68 m → N 42.455888°
E  0.225220°		 →
↑
450.68 m
↓
↑
450.68 m
↓
N 42.451835°
E  0.219726°		 ← 450.71 m →
203 123 m²		 N 42.451835°
E  0.225220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500617980957031 y=0.369514465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500617980957031 × 216)
    floor (0.500617980957031 × 65536)
    floor (32808.5)     		tx = 32808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369514465332031 × 216)
    floor (0.369514465332031 × 65536)
    floor (24216.5)     		ty = 24216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32808 / 24216 ti = "16/32808/24216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32808/24216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32808 ÷ 216
    32808 ÷ 65536     		x = 0.5006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24216 ÷ 216
    24216 ÷ 65536     		y = 0.3695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5006103515625 × 2 - 1) × π
    0.001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00383495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3695068359375 × 2 - 1) × π
    0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00383495} λ = 0.00383495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.81991273110144))-π/2
    2×atan(2.27030170215806)-π/2
    2×1.15589567649339-π/2
    2.31179135298678-1.57079632675     		φ = 0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00383495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32808 KachelY 24216 0.00383495 0.74099503 0.219726 42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 32809 KachelY 24216 0.00393083 0.74099503 0.225220 42.455888
    Unten links KachelX 32808 KachelY + 1 24217 0.00383495 0.74092429 0.219726 42.451835
    Unten rechts KachelX + 1 32809 KachelY + 1 24217 0.00393083 0.74092429 0.225220 42.451835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74099503-0.74092429) × R
    7.07399999999581e-05 × 6371000     		dl = 450.684539999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74099503-0.74092429) × R
    7.07399999999581e-05 × 6371000     		dr = 450.684539999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00383495-0.00393083) × cos(0.74099503) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 450.684546113532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00383495-0.00393083) × cos(0.74092429) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.737845005803234 × 6371000     		du = 450.713713805512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74099503)-sin(0.74092429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.737845005803234)×R²
    abs(0.00393083-0.00383495)×4.77492368206045e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77492368206045e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77492368206045e-05×40589641000000     		ar = 203123.130149073m²