Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32807 / 24215
↖ ↑ ↗
← N 42.459940°
E  0.214234°		 ← 450.61 m → N 42.459940°
E  0.219726°		 →
↑
450.62 m
↓
↑
450.62 m
↓
N 42.455888°
E  0.214234°		 ← 450.64 m →
203 060 m²		 N 42.455888°
E  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500602722167969 y=0.369499206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500602722167969 × 216)
    floor (0.500602722167969 × 65536)
    floor (32807.5)     		tx = 32807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369499206542969 × 216)
    floor (0.369499206542969 × 65536)
    floor (24215.5)     		ty = 24215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32807 / 24215 ti = "16/32807/24215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32807/24215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32807 ÷ 216
    32807 ÷ 65536     		x = 0.500595092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24215 ÷ 216
    24215 ÷ 65536     		y = 0.369491577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500595092773438 × 2 - 1) × π
    0.001190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00373908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369491577148438 × 2 - 1) × π
    0.261016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.820008604900681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00373908} λ = 0.00373908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.820008604900681))-π/2
    2×atan(2.27051937504206)-π/2
    2×1.15593104306209-π/2
    2.31186208612419-1.57079632675     		φ = 0.74106576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00373908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.214234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74106576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.459940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32807 KachelY 24215 0.00373908 0.74106576 0.214234 42.459940
    Oben rechts KachelX + 1 32808 KachelY 24215 0.00383495 0.74106576 0.219726 42.459940
    Unten links KachelX 32807 KachelY + 1 24216 0.00373908 0.74099503 0.214234 42.455888
    Unten rechts KachelX + 1 32808 KachelY + 1 24216 0.00383495 0.74099503 0.219726 42.455888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74106576-0.74099503) × R
    7.07300000000188e-05 × 6371000     		dl = 450.62083000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74106576-0.74099503) × R
    7.07300000000188e-05 × 6371000     		dr = 450.62083000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00373908-0.00383495) × cos(0.74106576) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.737749510388292 × 6371000     		do = 450.608378268657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00373908-0.00383495) × cos(0.74099503) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.737797256566414 × 6371000     		du = 450.637541050318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74106576)-sin(0.74099503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737749510388292-0.737797256566414)×R²
    abs(0.00383495-0.00373908)×4.77461781213107e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.77461781213107e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.77461781213107e-05×40589641000000     		ar = 203060.092183613m²