Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32805 / 24161
↖ ↑ ↗
← N 42.678397°
E  0.203247°		 ← 449.03 m → N 42.678397°
E  0.208740°		 →
↑
449.09 m
↓
↑
449.09 m
↓
N 42.674358°
E  0.203247°		 ← 449.06 m →
201 664 m²		 N 42.674358°
E  0.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500572204589844 y=0.368675231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500572204589844 × 216)
    floor (0.500572204589844 × 65536)
    floor (32805.5)     		tx = 32805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368675231933594 × 216)
    floor (0.368675231933594 × 65536)
    floor (24161.5)     		ty = 24161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32805 / 24161 ti = "16/32805/24161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32805/24161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32805 ÷ 216
    32805 ÷ 65536     		x = 0.500564575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24161 ÷ 216
    24161 ÷ 65536     		y = 0.368667602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500564575195312 × 2 - 1) × π
    0.001129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00354733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368667602539062 × 2 - 1) × π
    0.262664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.825185790059647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00354733} λ = 0.00354733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825185790059647))-π/2
    2×atan(2.28230475547816)-π/2
    2×1.15783743798793-π/2
    2.31567487597586-1.57079632675     		φ = 0.74487855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00354733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.203247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74487855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.678397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32805 KachelY 24161 0.00354733 0.74487855 0.203247 42.678397
    Oben rechts KachelX + 1 32806 KachelY 24161 0.00364320 0.74487855 0.208740 42.678397
    Unten links KachelX 32805 KachelY + 1 24162 0.00354733 0.74480806 0.203247 42.674358
    Unten rechts KachelX + 1 32806 KachelY + 1 24162 0.00364320 0.74480806 0.208740 42.674358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74487855-0.74480806) × R
    7.04900000000341e-05 × 6371000     		dl = 449.091790000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74487855-0.74480806) × R
    7.04900000000341e-05 × 6371000     		dr = 449.091790000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00354733-0.00364320) × cos(0.74487855) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.735170236636208 × 6371000     		do = 449.032989405402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00354733-0.00364320) × cos(0.74480806) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.735218018749168 × 6371000     		du = 449.062174135623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74487855)-sin(0.74480806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735170236636208-0.735218018749168)×R²
    abs(0.00364320-0.00354733)×4.77821129600819e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.77821129600819e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.77821129600819e-05×40589641000000     		ar = 201663.582376054m²