Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32803 / 32746
↖ ↑ ↗
← N  0.120849°
E  0.192261°		 ← 610.85 m → N  0.120849°
E  0.197754°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.115356°
E  0.192261°		 ← 610.85 m →
373 100 m²		 N  0.115356°
E  0.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500541687011719 y=0.499671936035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500541687011719 × 216)
    floor (0.500541687011719 × 65536)
    floor (32803.5)     		tx = 32803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499671936035156 × 216)
    floor (0.499671936035156 × 65536)
    floor (32746.5)     		ty = 32746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32803 / 32746 ti = "16/32803/32746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32803/32746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32803 ÷ 216
    32803 ÷ 65536     		x = 0.500534057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32746 ÷ 216
    32746 ÷ 65536     		y = 0.499664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500534057617188 × 2 - 1) × π
    0.001068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00335558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499664306640625 × 2 - 1) × π
    0.00067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00210922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00335558} λ = 0.00335558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00210922358328247))-π/2
    2×atan(1.0021114495601)-π/2
    2×0.786452774407127-π/2
    1.57290554881425-1.57079632675     		φ = 0.00210922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00335558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.192261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00210922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.120849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32803 KachelY 32746 0.00335558 0.00210922 0.192261 0.120849
    Oben rechts KachelX + 1 32804 KachelY 32746 0.00345146 0.00210922 0.197754 0.120849
    Unten links KachelX 32803 KachelY + 1 32747 0.00335558 0.00201335 0.192261 0.115356
    Unten rechts KachelX + 1 32804 KachelY + 1 32747 0.00345146 0.00201335 0.197754 0.115356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00210922-0.00201335) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00210922-0.00201335) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00335558-0.00345146) × cos(0.00210922) × R
    9.588e-05 × 0.99999777559632 × 6371000     		do = 610.85012121972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00335558-0.00345146) × cos(0.00201335) × R
    9.588e-05 × 0.999997973211573 × 6371000     		du = 610.85024193329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00210922)-sin(0.00201335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999777559632-0.999997973211573)×R²
    abs(0.00345146-0.00335558)×1.97615252939265e-07×R²
    9.588e-05×1.97615252939265e-07×6371000²
    9.588e-05×1.97615252939265e-07×40589641000000     		ar = 373099.820494974m²