Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32799 / 32729
↖ ↑ ↗
← N  0.214233°
E  0.170288°		 ← 610.78 m → N  0.214233°
E  0.175781°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.208740°
E  0.170288°		 ← 610.78 m →
373 059 m²		 N  0.208740°
E  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500480651855469 y=0.499412536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500480651855469 × 216)
    floor (0.500480651855469 × 65536)
    floor (32799.5)     		tx = 32799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499412536621094 × 216)
    floor (0.499412536621094 × 65536)
    floor (32729.5)     		ty = 32729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32799 / 32729 ti = "16/32799/32729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32799/32729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32799 ÷ 216
    32799 ÷ 65536     		x = 0.500473022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32729 ÷ 216
    32729 ÷ 65536     		y = 0.499404907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500473022460938 × 2 - 1) × π
    0.000946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00297209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499404907226562 × 2 - 1) × π
    0.001190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00297209} λ = 0.00297209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00373907817036438))-π/2
    2×atan(1.00374607724379)-π/2
    2×0.7872676981264-π/2
    1.5745353962528-1.57079632675     		φ = 0.00373907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00297209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00373907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.214233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32799 KachelY 32729 0.00297209 0.00373907 0.170288 0.214233
    Oben rechts KachelX + 1 32800 KachelY 32729 0.00306796 0.00373907 0.175781 0.214233
    Unten links KachelX 32799 KachelY + 1 32730 0.00297209 0.00364320 0.170288 0.208740
    Unten rechts KachelX + 1 32800 KachelY + 1 32730 0.00306796 0.00364320 0.175781 0.208740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00373907-0.00364320) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00373907-0.00364320) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00297209-0.00306796) × cos(0.00373907) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999993009685912 × 6371000     		do = 610.783500401644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00297209-0.00306796) × cos(0.00364320) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.99999336355422 × 6371000     		du = 610.783716540079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00373907)-sin(0.00364320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993009685912-0.99999336355422)×R²
    abs(0.00306796-0.00297209)×3.53868308766714e-07×R²
    9.58699999999996e-05×3.53868308766714e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×3.53868308766714e-07×40589641000000     		ar = 373059.158456205m²