Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32796 / 32731
↖ ↑ ↗
← N  0.203246°
E  0.153809°		 ← 610.78 m → N  0.203246°
E  0.159302°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.197754°
E  0.153809°		 ← 610.78 m →
373 059 m²		 N  0.197754°
E  0.159302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500434875488281 y=0.499443054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500434875488281 × 216)
    floor (0.500434875488281 × 65536)
    floor (32796.5)     		tx = 32796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499443054199219 × 216)
    floor (0.499443054199219 × 65536)
    floor (32731.5)     		ty = 32731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32796 / 32731 ti = "16/32796/32731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32796/32731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32796 ÷ 216
    32796 ÷ 65536     		x = 0.50042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32731 ÷ 216
    32731 ÷ 65536     		y = 0.499435424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50042724609375 × 2 - 1) × π
    0.0008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00268447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499435424804688 × 2 - 1) × π
    0.001129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00354733057188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00268447} λ = 0.00268447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00354733057188416))-π/2
    2×atan(1.00355362979525)-π/2
    2×0.787171824963567-π/2
    1.57434364992713-1.57079632675     		φ = 0.00354732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00268447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00354732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.203246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32796 KachelY 32731 0.00268447 0.00354732 0.153809 0.203246
    Oben rechts KachelX + 1 32797 KachelY 32731 0.00278034 0.00354732 0.159302 0.203246
    Unten links KachelX 32796 KachelY + 1 32732 0.00268447 0.00345145 0.153809 0.197754
    Unten rechts KachelX + 1 32797 KachelY + 1 32732 0.00278034 0.00345145 0.159302 0.197754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00354732-0.00345145) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.78777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00354732-0.00345145) × R
    9.58700000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.78777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00268447-0.00278034) × cos(0.00354732) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999993708267007 × 6371000     		do = 610.783927086436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00268447-0.00278034) × cos(0.00345145) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999994043752362 × 6371000     		du = 610.784131996788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00354732)-sin(0.00345145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993708267007-0.999994043752362)×R²
    abs(0.00278034-0.00268447)×3.35485355051901e-07×R²
    9.58700000000001e-05×3.35485355051901e-07×6371000²
    9.58700000000001e-05×3.35485355051901e-07×40589641000000     		ar = 373059.415641069m²