Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32786 / 32726
↖ ↑ ↗
← N  0.230712°
E  0.098877°		 ← 610.78 m → N  0.230712°
E  0.104370°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.225219°
E  0.098877°		 ← 610.78 m →
373 059 m²		 N  0.225219°
E  0.104370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500282287597656 y=0.499366760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500282287597656 × 216)
    floor (0.500282287597656 × 65536)
    floor (32786.5)     		tx = 32786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499366760253906 × 216)
    floor (0.499366760253906 × 65536)
    floor (32726.5)     		ty = 32726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32786 / 32726 ti = "16/32786/32726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32786/32726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32786 ÷ 216
    32786 ÷ 65536     		x = 0.500274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32726 ÷ 216
    32726 ÷ 65536     		y = 0.499359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500274658203125 × 2 - 1) × π
    0.00054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00172573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499359130859375 × 2 - 1) × π
    0.00128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00402669956808472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00172573} λ = 0.00172573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00402669956808472))-π/2
    2×atan(1.00403481761545)-π/2
    2×0.787411507740667-π/2
    1.57482301548133-1.57079632675     		φ = 0.00402669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00172573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00402669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.230712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32786 KachelY 32726 0.00172573 0.00402669 0.098877 0.230712
    Oben rechts KachelX + 1 32787 KachelY 32726 0.00182160 0.00402669 0.104370 0.230712
    Unten links KachelX 32786 KachelY + 1 32727 0.00172573 0.00393082 0.098877 0.225219
    Unten rechts KachelX + 1 32787 KachelY + 1 32727 0.00182160 0.00393082 0.104370 0.225219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00402669-0.00393082) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00402669-0.00393082) × R
    9.58700000000005e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00172573-0.00182160) × cos(0.00402669) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999991892894776 × 6371000     		do = 610.78281827928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00172573-0.00182160) × cos(0.00393082) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999992274337011 × 6371000     		du = 610.783051259532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00402669)-sin(0.00393082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999991892894776-0.999992274337011)×R²
    abs(0.00182160-0.00172573)×3.81442235242169e-07×R²
    9.58700000000001e-05×3.81442235242169e-07×6371000²
    9.58700000000001e-05×3.81442235242169e-07×40589641000000     		ar = 373058.746967595m²