Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32785 / 21615
↖ ↑ ↗
← N 52.109879°
E  0.093384°		 ← 375.15 m → N 52.109879°
E  0.098877°		 →
↑
375.12 m
↓
↑
375.12 m
↓
N 52.106505°
E  0.093384°		 ← 375.18 m →
140 735 m²		 N 52.106505°
E  0.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500267028808594 y=0.329826354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500267028808594 × 216)
    floor (0.500267028808594 × 65536)
    floor (32785.5)     		tx = 32785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329826354980469 × 216)
    floor (0.329826354980469 × 65536)
    floor (21615.5)     		ty = 21615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32785 / 21615 ti = "16/32785/21615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32785/21615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32785 ÷ 216
    32785 ÷ 65536     		x = 0.500259399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21615 ÷ 216
    21615 ÷ 65536     		y = 0.329818725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500259399414062 × 2 - 1) × π
    0.000518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00162985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329818725585938 × 2 - 1) × π
    0.340362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06928048292497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00162985} λ = 0.00162985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06928048292497))-π/2
    2×atan(2.91328258911863)-π/2
    2×1.24014264355049-π/2
    2.48028528710097-1.57079632675     		φ = 0.90948896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00162985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.093384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90948896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.109879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32785 KachelY 21615 0.00162985 0.90948896 0.093384 52.109879
    Oben rechts KachelX + 1 32786 KachelY 21615 0.00172573 0.90948896 0.098877 52.109879
    Unten links KachelX 32785 KachelY + 1 21616 0.00162985 0.90943008 0.093384 52.106505
    Unten rechts KachelX + 1 32786 KachelY + 1 21616 0.00172573 0.90943008 0.098877 52.106505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90948896-0.90943008) × R
    5.88799999999834e-05 × 6371000     		dl = 375.124479999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90948896-0.90943008) × R
    5.88799999999834e-05 × 6371000     		dr = 375.124479999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00162985-0.00172573) × cos(0.90948896) × R
    9.588e-05 × 0.614149137318885 × 6371000     		do = 375.153909471964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00162985-0.00172573) × cos(0.90943008) × R
    9.588e-05 × 0.614195603760768 × 6371000     		du = 375.182293566759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90948896)-sin(0.90943008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614149137318885-0.614195603760768)×R²
    abs(0.00172573-0.00162985)×4.64664418826644e-05×R²
    9.588e-05×4.64664418826644e-05×6371000²
    9.588e-05×4.64664418826644e-05×40589641000000     		ar = 140734.739035593m²