Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32781 / 22100
↖ ↑ ↗
← N 50.443513°
E  0.071411°		 ← 388.97 m → N 50.443513°
E  0.076904°		 →
↑
389.01 m
↓
↑
389.01 m
↓
N 50.440015°
E  0.071411°		 ← 389 m →
151 321 m²		 N 50.440015°
E  0.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500205993652344 y=0.337226867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500205993652344 × 216)
    floor (0.500205993652344 × 65536)
    floor (32781.5)     		tx = 32781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337226867675781 × 216)
    floor (0.337226867675781 × 65536)
    floor (22100.5)     		ty = 22100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32781 / 22100 ti = "16/32781/22100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32781/22100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32781 ÷ 216
    32781 ÷ 65536     		x = 0.500198364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22100 ÷ 216
    22100 ÷ 65536     		y = 0.33721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500198364257812 × 2 - 1) × π
    0.000396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00124636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33721923828125 × 2 - 1) × π
    0.3255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02278169029352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00124636} λ = 0.00124636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02278169029352))-π/2
    2×atan(2.78091967209108)-π/2
    2×1.2256008579072-π/2
    2.45120171581441-1.57079632675     		φ = 0.88040539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00124636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.071411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88040539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.443513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32781 KachelY 22100 0.00124636 0.88040539 0.071411 50.443513
    Oben rechts KachelX + 1 32782 KachelY 22100 0.00134223 0.88040539 0.076904 50.443513
    Unten links KachelX 32781 KachelY + 1 22101 0.00124636 0.88034433 0.071411 50.440015
    Unten rechts KachelX + 1 32782 KachelY + 1 22101 0.00134223 0.88034433 0.076904 50.440015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88040539-0.88034433) × R
    6.10599999999462e-05 × 6371000     		dl = 389.013259999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88040539-0.88034433) × R
    6.10599999999462e-05 × 6371000     		dr = 389.013259999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00124636-0.00134223) × cos(0.88040539) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.636838642017977 × 6371000     		do = 388.973254007989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00124636-0.00134223) × cos(0.88034433) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.636885717914331 × 6371000     		du = 389.002007389743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88040539)-sin(0.88034433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636838642017977-0.636885717914331)×R²
    abs(0.00134223-0.00124636)×4.70758963531104e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.70758963531104e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.70758963531104e-05×40589641000000     		ar = 151321.346364604m²