Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32780 / 24188
↖ ↑ ↗
← N 42.569264°
E  0.065918°		 ← 449.82 m → N 42.569264°
E  0.071411°		 →
↑
449.86 m
↓
↑
449.86 m
↓
N 42.565219°
E  0.065918°		 ← 449.85 m →
202 361 m²		 N 42.565219°
E  0.071411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500190734863281 y=0.369087219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500190734863281 × 216)
    floor (0.500190734863281 × 65536)
    floor (32780.5)     		tx = 32780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369087219238281 × 216)
    floor (0.369087219238281 × 65536)
    floor (24188.5)     		ty = 24188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32780 / 24188 ti = "16/32780/24188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32780/24188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32780 ÷ 216
    32780 ÷ 65536     		x = 0.50018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24188 ÷ 216
    24188 ÷ 65536     		y = 0.36907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50018310546875 × 2 - 1) × π
    0.0003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00115049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36907958984375 × 2 - 1) × π
    0.2618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.822597197480164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00115049} λ = 0.00115049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822597197480164))-π/2
    2×atan(2.27640443837728)-π/2
    2×1.15688507511214-π/2
    2.31377015022428-1.57079632675     		φ = 0.74297382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00115049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74297382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.569264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32780 KachelY 24188 0.00115049 0.74297382 0.065918 42.569264
    Oben rechts KachelX + 1 32781 KachelY 24188 0.00124636 0.74297382 0.071411 42.569264
    Unten links KachelX 32780 KachelY + 1 24189 0.00115049 0.74290321 0.065918 42.565219
    Unten rechts KachelX + 1 32781 KachelY + 1 24189 0.00124636 0.74290321 0.071411 42.565219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74297382-0.74290321) × R
    7.0609999999971e-05 × 6371000     		dl = 449.856309999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74297382-0.74290321) × R
    7.0609999999971e-05 × 6371000     		dr = 449.856309999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00115049-0.00124636) × cos(0.74297382) × R
    9.58699999999999e-05 × 0.73646008544792 × 6371000     		do = 449.820813284744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00115049-0.00124636) × cos(0.74290321) × R
    9.58699999999999e-05 × 0.736507849935336 × 6371000     		du = 449.849987249498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74297382)-sin(0.74290321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73646008544792-0.736507849935336)×R²
    abs(0.00124636-0.00115049)×4.77644874165017e-05×R²
    9.58699999999999e-05×4.77644874165017e-05×6371000²
    9.58699999999999e-05×4.77644874165017e-05×40589641000000     		ar = 202361.293355417m²