Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32776 / 21598
↖ ↑ ↗
← N 52.167194°
E  0.043945°		 ← 374.63 m → N 52.167194°
E  0.049438°		 →
↑
374.68 m
↓
↑
374.68 m
↓
N 52.163824°
E  0.043945°		 ← 374.66 m →
140 372 m²		 N 52.163824°
E  0.049438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500129699707031 y=0.329566955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500129699707031 × 216)
    floor (0.500129699707031 × 65536)
    floor (32776.5)     		tx = 32776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329566955566406 × 216)
    floor (0.329566955566406 × 65536)
    floor (21598.5)     		ty = 21598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32776 / 21598 ti = "16/32776/21598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32776/21598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32776 ÷ 216
    32776 ÷ 65536     		x = 0.5001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21598 ÷ 216
    21598 ÷ 65536     		y = 0.329559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5001220703125 × 2 - 1) × π
    0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329559326171875 × 2 - 1) × π
    0.34088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07091033751205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00076699} λ = 0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07091033751205))-π/2
    2×atan(2.91803468767282)-π/2
    2×1.24064280861975-π/2
    2.4812856172395-1.57079632675     		φ = 0.91048929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91048929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.167194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32776 KachelY 21598 0.00076699 0.91048929 0.043945 52.167194
    Oben rechts KachelX + 1 32777 KachelY 21598 0.00086286 0.91048929 0.049438 52.167194
    Unten links KachelX 32776 KachelY + 1 21599 0.00076699 0.91043048 0.043945 52.163824
    Unten rechts KachelX + 1 32777 KachelY + 1 21599 0.00086286 0.91043048 0.049438 52.163824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91048929-0.91043048) × R
    5.88099999999647e-05 × 6371000     		dl = 374.678509999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91048929-0.91043048) × R
    5.88099999999647e-05 × 6371000     		dr = 374.678509999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00076699-0.00086286) × cos(0.91048929) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.613359379752624 × 6371000     		do = 374.632407767689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00076699-0.00086286) × cos(0.91043048) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.613405827061905 × 6371000     		du = 374.660777216147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91048929)-sin(0.91043048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613359379752624-0.613405827061905)×R²
    abs(0.00086286-0.00076699)×4.64473092812723e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.64473092812723e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.64473092812723e-05×40589641000000     		ar = 140372.02709197m²