Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32761 / 21612
↖ ↑ ↗
← N 52.119999°
W  0.038452°		 ← 375.07 m → N 52.119999°
W  0.032959°		 →
↑
375.06 m
↓
↑
375.06 m
↓
N 52.116626°
W  0.038452°		 ← 375.10 m →
140 679 m²		 N 52.116626°
W  0.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499900817871094 y=0.329780578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499900817871094 × 216)
    floor (0.499900817871094 × 65536)
    floor (32761.5)     		tx = 32761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329780578613281 × 216)
    floor (0.329780578613281 × 65536)
    floor (21612.5)     		ty = 21612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32761 / 21612 ti = "16/32761/21612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32761/21612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32761 ÷ 216
    32761 ÷ 65536     		x = 0.499893188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21612 ÷ 216
    21612 ÷ 65536     		y = 0.32977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499893188476562 × 2 - 1) × π
    -0.000213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00067112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32977294921875 × 2 - 1) × π
    0.3404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06956810432269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00067112} λ = -0.00067112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06956810432269))-π/2
    2×atan(2.91412063204262)-π/2
    2×1.24023095474347-π/2
    2.48046190948694-1.57079632675     		φ = 0.90966558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00067112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.038452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90966558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.119999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32761 KachelY 21612 -0.00067112 0.90966558 -0.038452 52.119999
    Oben rechts KachelX + 1 32762 KachelY 21612 -0.00057524 0.90966558 -0.032959 52.119999
    Unten links KachelX 32761 KachelY + 1 21613 -0.00067112 0.90960671 -0.038452 52.116626
    Unten rechts KachelX + 1 32762 KachelY + 1 21613 -0.00057524 0.90960671 -0.032959 52.116626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90966558-0.90960671) × R
    5.88699999999331e-05 × 6371000     		dl = 375.060769999574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90966558-0.90960671) × R
    5.88699999999331e-05 × 6371000     		dr = 375.060769999574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00067112--0.00057524) × cos(0.90966558) × R
    9.588e-05 × 0.614009741004857 × 6371000     		do = 375.068759027234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00067112--0.00057524) × cos(0.90960671) × R
    9.588e-05 × 0.614056205940407 × 6371000     		du = 375.097142201882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90966558)-sin(0.90960671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614009741004857-0.614056205940407)×R²
    abs(-0.00057524--0.00067112)×4.64649355501612e-05×R²
    9.588e-05×4.64649355501612e-05×6371000²
    9.588e-05×4.64649355501612e-05×40589641000000     		ar = 140678.900311741m²