Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32760 / 24039
↖ ↑ ↗
← N 43.169129°
W  0.043945°		 ← 445.47 m → N 43.169129°
W  0.038452°		 →
↑
445.52 m
↓
↑
445.52 m
↓
N 43.165123°
W  0.043945°		 ← 445.50 m →
198 474 m²		 N 43.165123°
W  0.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499885559082031 y=0.366813659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499885559082031 × 216)
    floor (0.499885559082031 × 65536)
    floor (32760.5)     		tx = 32760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366813659667969 × 216)
    floor (0.366813659667969 × 65536)
    floor (24039.5)     		ty = 24039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32760 / 24039 ti = "16/32760/24039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32760/24039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32760 ÷ 216
    32760 ÷ 65536     		x = 0.4998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24039 ÷ 216
    24039 ÷ 65536     		y = 0.366806030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366806030273438 × 2 - 1) × π
    0.266387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.83688239356694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00076699} λ = -0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83688239356694))-π/2
    2×atan(2.30915670143336)-π/2
    2×1.16211988268102-π/2
    2.32423976536204-1.57079632675     		φ = 0.75344344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75344344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.169129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32760 KachelY 24039 -0.00076699 0.75344344 -0.043945 43.169129
    Oben rechts KachelX + 1 32761 KachelY 24039 -0.00067112 0.75344344 -0.038452 43.169129
    Unten links KachelX 32760 KachelY + 1 24040 -0.00076699 0.75337351 -0.043945 43.165123
    Unten rechts KachelX + 1 32761 KachelY + 1 24040 -0.00067112 0.75337351 -0.038452 43.165123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75344344-0.75337351) × R
    6.99299999999958e-05 × 6371000     		dl = 445.524029999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75344344-0.75337351) × R
    6.99299999999958e-05 × 6371000     		dr = 445.524029999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00076699--0.00067112) × cos(0.75344344) × R
    9.587e-05 × 0.72933735342528 × 6371000     		do = 445.470335676329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00076699--0.00067112) × cos(0.75337351) × R
    9.587e-05 × 0.72938519454798 × 6371000     		du = 445.499556448977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75344344)-sin(0.75337351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72933735342528-0.72938519454798)×R²
    abs(-0.00067112--0.00076699)×4.78411226999542e-05×R²
    9.587e-05×4.78411226999542e-05×6371000²
    9.587e-05×4.78411226999542e-05×40589641000000     		ar = 198474.248555124m²