Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32760 / 21740
↖ ↑ ↗
← N 51.686179°
W  0.043945°		 ← 378.67 m → N 51.686179°
W  0.038452°		 →
↑
378.69 m
↓
↑
378.69 m
↓
N 51.682774°
W  0.043945°		 ← 378.70 m →
143 404 m²		 N 51.682774°
W  0.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499885559082031 y=0.331733703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499885559082031 × 216)
    floor (0.499885559082031 × 65536)
    floor (32760.5)     		tx = 32760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331733703613281 × 216)
    floor (0.331733703613281 × 65536)
    floor (21740.5)     		ty = 21740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32760 / 21740 ti = "16/32760/21740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32760/21740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32760 ÷ 216
    32760 ÷ 65536     		x = 0.4998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21740 ÷ 216
    21740 ÷ 65536     		y = 0.33172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33172607421875 × 2 - 1) × π
    0.3365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05729625801996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00076699} λ = -0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05729625801996))-π/2
    2×atan(2.87857752735703)-π/2
    2×1.23644516883771-π/2
    2.47289033767542-1.57079632675     		φ = 0.90209401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90209401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.686179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32760 KachelY 21740 -0.00076699 0.90209401 -0.043945 51.686179
    Oben rechts KachelX + 1 32761 KachelY 21740 -0.00067112 0.90209401 -0.038452 51.686179
    Unten links KachelX 32760 KachelY + 1 21741 -0.00076699 0.90203457 -0.043945 51.682774
    Unten rechts KachelX + 1 32761 KachelY + 1 21741 -0.00067112 0.90203457 -0.038452 51.682774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90209401-0.90203457) × R
    5.94400000000217e-05 × 6371000     		dl = 378.692240000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90209401-0.90203457) × R
    5.94400000000217e-05 × 6371000     		dr = 378.692240000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00076699--0.00067112) × cos(0.90209401) × R
    9.587e-05 × 0.619968312245982 × 6371000     		do = 378.669062907387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00076699--0.00067112) × cos(0.90203457) × R
    9.587e-05 × 0.620014949370636 × 6371000     		du = 378.697548292753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90209401)-sin(0.90203457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619968312245982-0.620014949370636)×R²
    abs(-0.00067112--0.00076699)×4.66371246542474e-05×R²
    9.587e-05×4.66371246542474e-05×6371000²
    9.587e-05×4.66371246542474e-05×40589641000000     		ar = 143404.429290652m²