Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32752 / 24272
↖ ↑ ↗
← N 42.228518°
W  0.087891°		 ← 452.27 m → N 42.228518°
W  0.082398°		 →
↑
452.34 m
↓
↑
452.34 m
↓
N 42.224450°
W  0.087891°		 ← 452.30 m →
204 587 m²		 N 42.224450°
W  0.082398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499763488769531 y=0.370368957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499763488769531 × 216)
    floor (0.499763488769531 × 65536)
    floor (32752.5)     		tx = 32752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370368957519531 × 216)
    floor (0.370368957519531 × 65536)
    floor (24272.5)     		ty = 24272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32752 / 24272 ti = "16/32752/24272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32752/24272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32752 ÷ 216
    32752 ÷ 65536     		x = 0.499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24272 ÷ 216
    24272 ÷ 65536     		y = 0.370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370361328125 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00153398} λ = -0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814543798343994))-π/2
    2×atan(2.25814526772079)-π/2
    2×1.15391149643953-π/2
    2.30782299287907-1.57079632675     		φ = 0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32752 KachelY 24272 -0.00153398 0.73702667 -0.087891 42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 32753 KachelY 24272 -0.00143811 0.73702667 -0.082398 42.228518
    Unten links KachelX 32752 KachelY + 1 24273 -0.00153398 0.73695567 -0.087891 42.224450
    Unten rechts KachelX + 1 32753 KachelY + 1 24273 -0.00143811 0.73695567 -0.082398 42.224450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73702667-0.73695567) × R
    7.10000000000433e-05 × 6371000     		dl = 452.341000000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73702667-0.73695567) × R
    7.10000000000433e-05 × 6371000     		dr = 452.341000000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00153398--0.00143811) × cos(0.73702667) × R
    9.58699999999999e-05 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 452.270125087796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00153398--0.00143811) × cos(0.73695567) × R
    9.58699999999999e-05 × 0.740517888436388 × 6371000     		du = 452.299269723169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73702667)-sin(0.73695567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.740517888436388)×R²
    abs(-0.00143811--0.00153398)×4.77164684776765e-05×R²
    9.58699999999999e-05×4.77164684776765e-05×6371000²
    9.58699999999999e-05×4.77164684776765e-05×40589641000000     		ar = 204586.912395341m²