Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32752 / 22316
↖ ↑ ↗
← N 49.681847°
W  0.087891°		 ← 395.20 m → N 49.681847°
W  0.082398°		 →
↑
395.26 m
↓
↑
395.26 m
↓
N 49.678292°
W  0.087891°		 ← 395.23 m →
156 211 m²		 N 49.678292°
W  0.082398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499763488769531 y=0.340522766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499763488769531 × 216)
    floor (0.499763488769531 × 65536)
    floor (32752.5)     		tx = 32752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340522766113281 × 216)
    floor (0.340522766113281 × 65536)
    floor (22316.5)     		ty = 22316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32752 / 22316 ti = "16/32752/22316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32752/22316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32752 ÷ 216
    32752 ÷ 65536     		x = 0.499755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22316 ÷ 216
    22316 ÷ 65536     		y = 0.34051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    0.3189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00207294965765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00153398} λ = -0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00207294965765))-π/2
    2×atan(2.72392253427445)-π/2
    2×1.21895406682133-π/2
    2.43790813364265-1.57079632675     		φ = 0.86711181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86711181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.681847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32752 KachelY 22316 -0.00153398 0.86711181 -0.087891 49.681847
    Oben rechts KachelX + 1 32753 KachelY 22316 -0.00143811 0.86711181 -0.082398 49.681847
    Unten links KachelX 32752 KachelY + 1 22317 -0.00153398 0.86704977 -0.087891 49.678292
    Unten rechts KachelX + 1 32753 KachelY + 1 22317 -0.00143811 0.86704977 -0.082398 49.678292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86711181-0.86704977) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dl = 395.256839999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86711181-0.86704977) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dr = 395.256839999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00153398--0.00143811) × cos(0.86711181) × R
    9.58699999999999e-05 × 0.647031381909497 × 6371000     		do = 395.19885487652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00153398--0.00143811) × cos(0.86704977) × R
    9.58699999999999e-05 × 0.647078683891752 × 6371000     		du = 395.227746348777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86711181)-sin(0.86704977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647031381909497-0.647078683891752)×R²
    abs(-0.00143811--0.00153398)×4.7301982254444e-05×R²
    9.58699999999999e-05×4.7301982254444e-05×6371000²
    9.58699999999999e-05×4.7301982254444e-05×40589641000000     		ar = 156210.760376336m²