Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32750 / 24273
↖ ↑ ↗
← N 42.224450°
W  0.098877°		 ← 452.35 m → N 42.224450°
W  0.093384°		 →
↑
452.34 m
↓
↑
452.34 m
↓
N 42.220382°
W  0.098877°		 ← 452.38 m →
204 621 m²		 N 42.220382°
W  0.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499732971191406 y=0.370384216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499732971191406 × 216)
    floor (0.499732971191406 × 65536)
    floor (32750.5)     		tx = 32750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370384216308594 × 216)
    floor (0.370384216308594 × 65536)
    floor (24273.5)     		ty = 24273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32750 / 24273 ti = "16/32750/24273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32750/24273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32750 ÷ 216
    32750 ÷ 65536     		x = 0.499725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24273 ÷ 216
    24273 ÷ 65536     		y = 0.370376586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.00054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00172573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370376586914062 × 2 - 1) × π
    0.259246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.814447924544754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00172573} λ = -0.00172573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.814447924544754))-π/2
    2×atan(2.2579287811326)-π/2
    2×1.15387599945151-π/2
    2.30775199890301-1.57079632675     		φ = 0.73695567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00172573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73695567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.224450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32750 KachelY 24273 -0.00172573 0.73695567 -0.098877 42.224450
    Oben rechts KachelX + 1 32751 KachelY 24273 -0.00162985 0.73695567 -0.093384 42.224450
    Unten links KachelX 32750 KachelY + 1 24274 -0.00172573 0.73688467 -0.098877 42.220382
    Unten rechts KachelX + 1 32751 KachelY + 1 24274 -0.00162985 0.73688467 -0.093384 42.220382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73695567-0.73688467) × R
    7.09999999999322e-05 × 6371000     		dl = 452.340999999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73695567-0.73688467) × R
    7.09999999999322e-05 × 6371000     		dr = 452.340999999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00172573--0.00162985) × cos(0.73695567) × R
    9.588e-05 × 0.740517888436388 × 6371000     		do = 452.346448117842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00172573--0.00162985) × cos(0.73688467) × R
    9.588e-05 × 0.740565601171915 × 6371000     		du = 452.375593512954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73695567)-sin(0.73688467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740517888436388-0.740565601171915)×R²
    abs(-0.00162985--0.00172573)×4.77127355269502e-05×R²
    9.588e-05×4.77127355269502e-05×6371000²
    9.588e-05×4.77127355269502e-05×40589641000000     		ar = 204621.436602544m²