Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32750 / 21911
↖ ↑ ↗
← N 51.100072°
W  0.098877°		 ← 383.59 m → N 51.100072°
W  0.093384°		 →
↑
383.53 m
↓
↑
383.53 m
↓
N 51.096623°
W  0.098877°		 ← 383.62 m →
147 126 m²		 N 51.096623°
W  0.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499732971191406 y=0.334342956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499732971191406 × 216)
    floor (0.499732971191406 × 65536)
    floor (32750.5)     		tx = 32750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334342956542969 × 216)
    floor (0.334342956542969 × 65536)
    floor (21911.5)     		ty = 21911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32750 / 21911 ti = "16/32750/21911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32750/21911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32750 ÷ 216
    32750 ÷ 65536     		x = 0.499725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21911 ÷ 216
    21911 ÷ 65536     		y = 0.334335327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.00054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00172573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334335327148438 × 2 - 1) × π
    0.331329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0409018383499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00172573} λ = -0.00172573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0409018383499))-π/2
    2×atan(2.83176966161988)-π/2
    2×1.23133042058637-π/2
    2.46266084117275-1.57079632675     		φ = 0.89186451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00172573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89186451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.100072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32750 KachelY 21911 -0.00172573 0.89186451 -0.098877 51.100072
    Oben rechts KachelX + 1 32751 KachelY 21911 -0.00162985 0.89186451 -0.093384 51.100072
    Unten links KachelX 32750 KachelY + 1 21912 -0.00172573 0.89180431 -0.098877 51.096623
    Unten rechts KachelX + 1 32751 KachelY + 1 21912 -0.00162985 0.89180431 -0.093384 51.096623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89186451-0.89180431) × R
    6.01999999999547e-05 × 6371000     		dl = 383.534199999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89186451-0.89180431) × R
    6.01999999999547e-05 × 6371000     		dr = 383.534199999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00172573--0.00162985) × cos(0.89186451) × R
    9.588e-05 × 0.62796207532629 × 6371000     		do = 383.591563096936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00172573--0.00162985) × cos(0.89180431) × R
    9.588e-05 × 0.628008924473639 × 6371000     		du = 383.620180967931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89186451)-sin(0.89180431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62796207532629-0.628008924473639)×R²
    abs(-0.00162985--0.00172573)×4.6849147349648e-05×R²
    9.588e-05×4.6849147349648e-05×6371000²
    9.588e-05×4.6849147349648e-05×40589641000000     		ar = 147125.971289521m²