Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32749 / 21889
↖ ↑ ↗
← N 51.175899°
W  0.104370°		 ← 382.92 m → N 51.175899°
W  0.098877°		 →
↑
382.96 m
↓
↑
382.96 m
↓
N 51.172455°
W  0.104370°		 ← 382.95 m →
146 650 m²		 N 51.172455°
W  0.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499717712402344 y=0.334007263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499717712402344 × 216)
    floor (0.499717712402344 × 65536)
    floor (32749.5)     		tx = 32749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334007263183594 × 216)
    floor (0.334007263183594 × 65536)
    floor (21889.5)     		ty = 21889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32749 / 21889 ti = "16/32749/21889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32749/21889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32749 ÷ 216
    32749 ÷ 65536     		x = 0.499710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21889 ÷ 216
    21889 ÷ 65536     		y = 0.333999633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.000579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00182160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333999633789062 × 2 - 1) × π
    0.332000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04301106193318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00182160} λ = -0.00182160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04301106193318))-π/2
    2×atan(2.8377488004262)-π/2
    2×1.23199213335254-π/2
    2.46398426670508-1.57079632675     		φ = 0.89318794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00182160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89318794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.175899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32749 KachelY 21889 -0.00182160 0.89318794 -0.104370 51.175899
    Oben rechts KachelX + 1 32750 KachelY 21889 -0.00172573 0.89318794 -0.098877 51.175899
    Unten links KachelX 32749 KachelY + 1 21890 -0.00182160 0.89312783 -0.104370 51.172455
    Unten rechts KachelX + 1 32750 KachelY + 1 21890 -0.00172573 0.89312783 -0.098877 51.172455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89318794-0.89312783) × R
    6.01100000000576e-05 × 6371000     		dl = 382.960810000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89318794-0.89312783) × R
    6.01100000000576e-05 × 6371000     		dr = 382.960810000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00182160--0.00172573) × cos(0.89318794) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.62693157432056 × 6371000     		do = 382.922138221844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00182160--0.00172573) × cos(0.89312783) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.626978403345483 × 6371000     		du = 382.950740817548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89318794)-sin(0.89312783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62693157432056-0.626978403345483)×R²
    abs(-0.00172573--0.00182160)×4.68290249229231e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.68290249229231e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.68290249229231e-05×40589641000000     		ar = 146649.649101358m²