Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32748 / 24217
↖ ↑ ↗
← N 42.451835°
W  0.109864°		 ← 450.71 m → N 42.451835°
W  0.104370°		 →
↑
450.68 m
↓
↑
450.68 m
↓
N 42.447782°
W  0.109864°		 ← 450.74 m →
203 136 m²		 N 42.447782°
W  0.104370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499702453613281 y=0.369529724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499702453613281 × 216)
    floor (0.499702453613281 × 65536)
    floor (32748.5)     		tx = 32748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369529724121094 × 216)
    floor (0.369529724121094 × 65536)
    floor (24217.5)     		ty = 24217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32748 / 24217 ti = "16/32748/24217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32748/24217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32748 ÷ 216
    32748 ÷ 65536     		x = 0.49969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24217 ÷ 216
    24217 ÷ 65536     		y = 0.369522094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00191748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369522094726562 × 2 - 1) × π
    0.260955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.8198168573022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00191748} λ = -0.00191748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8198168573022))-π/2
    2×atan(2.27008405014218)-π/2
    2×1.1558603076358-π/2
    2.3117206152716-1.57079632675     		φ = 0.74092429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00191748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74092429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.451835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32748 KachelY 24217 -0.00191748 0.74092429 -0.109864 42.451835
    Oben rechts KachelX + 1 32749 KachelY 24217 -0.00182160 0.74092429 -0.104370 42.451835
    Unten links KachelX 32748 KachelY + 1 24218 -0.00191748 0.74085355 -0.109864 42.447782
    Unten rechts KachelX + 1 32749 KachelY + 1 24218 -0.00182160 0.74085355 -0.104370 42.447782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74092429-0.74085355) × R
    7.07400000000691e-05 × 6371000     		dl = 450.68454000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74092429-0.74085355) × R
    7.07400000000691e-05 × 6371000     		dr = 450.68454000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00191748--0.00182160) × cos(0.74092429) × R
    9.588e-05 × 0.737845005803234 × 6371000     		do = 450.713713805514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00191748--0.00182160) × cos(0.74085355) × R
    9.588e-05 × 0.73789275134777 × 6371000     		du = 450.742879242057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74092429)-sin(0.74085355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737845005803234-0.73789275134777)×R²
    abs(-0.00182160--0.00191748)×4.77455445352382e-05×R²
    9.588e-05×4.77455445352382e-05×6371000²
    9.588e-05×4.77455445352382e-05×40589641000000     		ar = 203136.275068536m²