Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32747 / 22331
↖ ↑ ↗
← N 49.628504°
W  0.115356°		 ← 395.63 m → N 49.628504°
W  0.109864°		 →
↑
395.70 m
↓
↑
395.70 m
↓
N 49.624945°
W  0.115356°		 ← 395.66 m →
156 559 m²		 N 49.624945°
W  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499687194824219 y=0.340751647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499687194824219 × 216)
    floor (0.499687194824219 × 65536)
    floor (32747.5)     		tx = 32747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340751647949219 × 216)
    floor (0.340751647949219 × 65536)
    floor (22331.5)     		ty = 22331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32747 / 22331 ti = "16/32747/22331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32747/22331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32747 ÷ 216
    32747 ÷ 65536     		x = 0.499679565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22331 ÷ 216
    22331 ÷ 65536     		y = 0.340744018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499679565429688 × 2 - 1) × π
    -0.000640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00201335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340744018554688 × 2 - 1) × π
    0.318511962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00063484266905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00201335} λ = -0.00201335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00063484266905))-π/2
    2×atan(2.72000805763425)-π/2
    2×1.21848856154317-π/2
    2.43697712308634-1.57079632675     		φ = 0.86618080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00201335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.115356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86618080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.628504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32747 KachelY 22331 -0.00201335 0.86618080 -0.115356 49.628504
    Oben rechts KachelX + 1 32748 KachelY 22331 -0.00191748 0.86618080 -0.109864 49.628504
    Unten links KachelX 32747 KachelY + 1 22332 -0.00201335 0.86611869 -0.115356 49.624945
    Unten rechts KachelX + 1 32748 KachelY + 1 22332 -0.00191748 0.86611869 -0.109864 49.624945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86618080-0.86611869) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dl = 395.702810000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86618080-0.86611869) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dr = 395.702810000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00201335--0.00191748) × cos(0.86618080) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.647740962412407 × 6371000     		do = 395.632257969528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00201335--0.00191748) × cos(0.86611869) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.647788280327789 × 6371000     		du = 395.661159173545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86618080)-sin(0.86611869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647740962412407-0.647788280327789)×R²
    abs(-0.00191748--0.00201335)×4.73179153818171e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.73179153818171e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.73179153818171e-05×40589641000000     		ar = 156558.514399348m²