Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32746 / 24078
↖ ↑ ↗
← N 43.012681°
W  0.120849°		 ← 446.61 m → N 43.012681°
W  0.115356°		 →
↑
446.61 m
↓
↑
446.61 m
↓
N 43.008664°
W  0.120849°		 ← 446.64 m →
199 466 m²		 N 43.008664°
W  0.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499671936035156 y=0.367408752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499671936035156 × 216)
    floor (0.499671936035156 × 65536)
    floor (32746.5)     		tx = 32746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367408752441406 × 216)
    floor (0.367408752441406 × 65536)
    floor (24078.5)     		ty = 24078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32746 / 24078 ti = "16/32746/24078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32746/24078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32746 ÷ 216
    32746 ÷ 65536     		x = 0.499664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24078 ÷ 216
    24078 ÷ 65536     		y = 0.367401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.00067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00210922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367401123046875 × 2 - 1) × π
    0.26519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.833143315396576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00210922} λ = -0.00210922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833143315396576))-π/2
    2×atan(2.30053870573933)-π/2
    2×1.16075461417758-π/2
    2.32150922835515-1.57079632675     		φ = 0.75071290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00210922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.120849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75071290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.012681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32746 KachelY 24078 -0.00210922 0.75071290 -0.120849 43.012681
    Oben rechts KachelX + 1 32747 KachelY 24078 -0.00201335 0.75071290 -0.115356 43.012681
    Unten links KachelX 32746 KachelY + 1 24079 -0.00210922 0.75064280 -0.120849 43.008664
    Unten rechts KachelX + 1 32747 KachelY + 1 24079 -0.00201335 0.75064280 -0.115356 43.008664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75071290-0.75064280) × R
    7.00999999999619e-05 × 6371000     		dl = 446.607099999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75071290-0.75064280) × R
    7.00999999999619e-05 × 6371000     		dr = 446.607099999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00210922--0.00201335) × cos(0.75071290) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.731202742711166 × 6371000     		do = 446.609692638437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00210922--0.00201335) × cos(0.75064280) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.731250560345122 × 6371000     		du = 446.638899064448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75071290)-sin(0.75064280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731202742711166-0.731250560345122)×R²
    abs(-0.00201335--0.00210922)×4.78176339561154e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.78176339561154e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.78176339561154e-05×40589641000000     		ar = 199465.581641216m²